Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông cạnh \(x\,\left( {cm} \right)\), chiều cao \(h\,\left( {cm} \right)\) và diện tích bề mặt bằng \[108\,c{m^2}\] như hình dưới đây. Tìm chiều cao \(h\,\left( {cm} \right)\) sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

Đáp số: 34,5.

Gọi giá bán mới là \(x\) (triệu đồng) với \(x \in \left[ {30;35} \right]\).

Khi đó số xe bán ra là \(400 + \left( {35 - x} \right)100\).

Lợi nhuận thu được là

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \left[ {400 + \left( {35 - x} \right)100} \right].\left( {x - 30} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =  - 100{x^2} + 6900x - 117000\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =  - 100{\left( {x - \frac{{69}}{2}} \right)^2} + 2025 \le 2025\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = \frac{{69}}{2}\).

Vậy giá bán mới là \(34,5\) triệu đồng thì lợi nhuận thu được cao nhất.

a) ĐÚNG

Với mọi giá trị của \(m\), hàm số\(f\left( x \right) = {x^3} + 3{m^2}x + 2\) là hàm số đa thức bậc 3 liên tục trên \(\mathbb{R}\)nên liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\), do đó hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) với mọi giá trị của \(m\).

b) SAI

Khi \(m = 0\), hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 2\) có\(f'\left( x \right) = 3{x^2},f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R},\) suy ra hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).

Mặt khác \(f\left( 0 \right) = 2 > 0\), do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) bằng \(y\left( 0 \right)\).

c) SAI

Khi \(m = 1\), hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 3x + 2 \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\), có \(y\left( 0 \right) = 2,y\left( { - 2} \right) = 12\).

d) SAI

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 3{m^2}x + 2 \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} + 3{m^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R},\forall m\).  Mặt khác

\(y\left( 0 \right) = 2,y\left( 1 \right) = \left| {3{m^2} + 3} \right|\)

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{m^2} + 3 = 5\\3{m^2} + 3 =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{m^2} - 2 = 0{\rm{  }}\left( 1 \right)\\3{m^2} + 8 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Phương trình \(\left( 2 \right)\) vô nghiệm, áp dụng định lí Vi-et cho phương trình \(\left( 1 \right)\) ta được tổng các nghiệm là \({m_1} + {m_2} =  - \frac{b}{a} = 0\).

Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = 5\) là \(0\).