Cho đồ thị hàm số có hình vẽ như dưới, đường thẳng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường có nét đứt. Hỏi đó là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau

Đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2}}\] có đúng hai đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình \[f\left( x \right) = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2 = 0\] có đúng 2 nghiệm phân biệt khác 1\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 2} \right) > 0\\1 + 2\left( {m - 1} \right) + {m^2} - 2 \ne 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m + 3 > 0\\{m^2} + 2m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{3}{2}\\m \ne 1\\m \ne  - 3\end{array} \right.\].

Do \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 2025;2025} \right]\end{array} \right.\) nên \(m \in \left\{ { - 2025, - 2024..., - 4, - 2, - 1,0} \right\}\)

Vậy có 2025 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án: 2025

Xét \({f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 4\end{array} \right.\).

- Xét \(f\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm \({x_1} <  - 1\) và \({x_2} = 1\) là nghiệm bội 2 (do đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] tiếp xúc với trục hoành tại \(x = 1\)). Trường hợp này đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) có 2 đường tiệm cận đứng.

- Xét \(f\left( x \right) = 4\) có 2 nghiệm \({x_3} > 1\) và \({x_4} =  - 1\) là nghiệm bội 2 (do đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\]tiếp xúc với đường thẳng \(y = 4\) tại \(x =  - 1\)). Trường hợp này đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) có 2 đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 4 tiệm cận đứng.

Đáp án: 4