Cho \(f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc ba và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 100;100} \right]\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {1 + m{x^2}} }}{{f(x) - m}}\) có đúng hai đường tiệm cận?

TH1: \(m = 0\)\( \Rightarrow y = \frac{1}{{f(x)}}\).

Đồ thị hàm số có một TCN \(y = 0\) và ba tiệm cận đứng nên \(m = 0\) không thoả mãn.

TH2: \(m < 0\)

Đồ thị hàm số không có TCN

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow f(x) = m\) có nghiệm, trong đó có đúng hai nghiệm thoả mãn \(1 + m{x^2} \ge 0\).

Mà \(m\)là số nguyên nên dựa vào đồ thị ta chỉ cần xét \[m \in \left\{ { - 2;\left. { - 1} \right\}} \right.\].

+ Với \(m = - 2 \Rightarrow y = \frac{{\sqrt {1 - 2{x^2}} }}{{f(x) + 2}}\). Khi đó \(f(x) = - 2\)có hai nghiệm \({x_1} = 0\;;{x_2} = a > 2\). Nghiệm \({x_2}\) không thoả mãn điều kiện \(1 - 2{x^2} \ge 0\)nên \(m = - 2\) không thoả mãn

+ Với \(m = - 1 \Rightarrow y = \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{f(x) + 1}}\) Khi đó \(f(x) = - 1\) có hai nghiệm \({x_1} = b\; \in \left( { - 1;0} \right);{x_2} = c \in \left( {0;1} \right)\). Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện\(1 - {x^2} \ge 0\) nên \(m = - 1\) thoả mãn.

TH3: \(m > 0\). Khi đó \(1 + m{x^2} > 0,\forall x \in R\).

Đồ thị hàm số có một TCN \(y = 0\).

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow f(x) = m\)có đúng một nghiệm \(x \in R \Leftrightarrow m > 2\).

Vì \(m\)nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 100;100} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in Z\\m \in \left[ {3;100} \right] \cup \left\{ { - 1} \right\}\end{array} \right.\)nên có \(99\)giá trị.

Đáp số : 99.