Cho hàm số \[y = \frac{{10 + \sqrt {6x - {x^2}} }}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 2m} }}\]có đồ thị \[\left( {{C_m}} \right)\]. Tìm số giá trị nguyên của tham số \[m\] để \[\left( {{C_m}} \right)\]có đúng hai tiệm cận đứng.

Ta có: \({f^2}(x) - 2f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = 0\,\,\,\,(1)\\f(x) = 2\,\,\,\,(2)\end{array} \right..\)

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:

\((1)\,\)có nghiệm\({x_1} = a < - 1\) (nghiệm đơn) và \({x_2} = 1\) (nghiệm kép)\( \Rightarrow f(x) = k(x - a){(x - 1)^2}\left( {k \ne 0} \right)\)

\((2)\) có nghiệm ba nghiệm đơn \({x_3},{\rm{ }}{x_4},{\rm{ }}{x_5}\)với \[{x_3} = b < - 1 < {x_4} = 0 < 1 < {x_5} = c\] \( \Rightarrow f(x) - 2 = m(x - b)x(x - c){\rm{ }}\left( {m \ne 0} \right).\)

\( \Rightarrow \)Hàm số \(y = g(x)\)có tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {a;\,b;\,0;\,1;\,c} \right\}\]

Tại các điểm \(x = a,{\rm{ }}x = b,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 1,{\rm{ }}x = c\) mẫu của \(g\left( x \right)\) nhận giá trị bằng \(0\)còn tử nhận các giá trị dương. Và do hàm số xác định trên \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {a;\,b;\,0;\,1;\,c} \right\}\]nên giới hạn một bên của hàm số \(y = g\left( x \right)\)tại các điểm \(x = a,{\rm{ }}x = b,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 1,{\rm{ }}x = c\) là các giới hạn vô cực. Do đó, đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\)có 5 tiệm cận đứng, đó là các đường thẳng \(x = a,{\rm{ }}x = b,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 1,{\rm{ }}x = c\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\)có 5 tiệm cận đứng \(x = a,{\rm{ }}x = b,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 1,{\rm{ }}x = c\).

Chọn đáp án A

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Gọi phương trình đường tiệm cận xiên là \(y = ax + b\).

Trường hợp 1:

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - x + 3} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {4 - \frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{x} = 2\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right) - ax} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {4{x^2} - x + 3} - 2x = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x + 3}}{{\sqrt {4{x^2} - x + 3} + 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( { - 1 + \frac{3}{x}} \right)}}{{x\left( {\sqrt {4 - \frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} + 2} \right)}} = - \frac{1}{4}\)

Khi đó phương trình đường tiệm cận xiên là \(y = 2x - \frac{1}{4}\).

Trường hợp 2:

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - x + 3} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {4 - \frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{x} = - 2\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {f\left( x \right) - ax} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {4{x^2} - x + 3} + 2x = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x + 3}}{{\sqrt {4{x^2} - x + 3} - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( { - 1 + \frac{3}{x}} \right)}}{{x\left( { - \sqrt {4 - \frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} - 2} \right)}} = \frac{1}{4}\)

Khi đó phương trình đường tiệm cận xiên là \(y = - 2x + \frac{1}{4}\).

Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận xiên.