Cho hàm số \[y = \frac{{10 + \sqrt {6x - {x^2}} }}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 2m} }}\]có đồ thị \[\left( {{C_m}} \right)\]. Tìm số giá trị nguyên của tham số \[m\] để \[\left( {{C_m}} \right)\]có đúng hai tiệm cận đứng.

Ta có \[10 + \sqrt {6x - {x^2}}  \ne 0\,\,\forall x\] nên để \[\left( {{C_m}} \right)\]có hai tiệm cận đứng thì phương trình \[\sqrt {{x^2} - 4x + 2m}  = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 2m = 0\left( * \right)\]có hai nghiệm phân biệt thuộc\[\left[ {0;6} \right].\]

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì  \[\Delta ' = 4 - 2m > 0 \Leftrightarrow m < 2\].

Giả sử  2 nghiệm phân biệt của (*) là \[{x_1} < {x_2}\]. Ta có \[0 \le {x_1} < {x_2} \le 6\].

Theo định lí Vi-et ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}.{x_2} = 2m\end{array} \right.\]

Khi đó

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} \ge 0\\{x_1} + {x_2} \ge 0\\\left( {{x_1} - 6} \right)\left( {{x_2} - 6} \right) \ge 0\\\left( {{x_1} - 6} \right) + \left( {{x_2} - 6} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} \ge 0\\{x_1} + {x_2} \ge 0\\{x_1}{x_2} - 6\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 36 \ge 0\\\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 12 \le 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m \ge 0\\4 \ge 0\\2m - 24 + 36 \ge 0\\4 - 12 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\2m + 12 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 0\]

Vậy \[0 \le m < 2\]và \[m\] nguyên suy ra \[m \in \left\{ {0;\,1\,} \right\}\] là giá trị cần tìm.

Đáp số :  2.