Đề kiểm tra Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (có lời giải) - Đề 4

Ta có :\(y = \frac{{2{x^2} - 3x - 3}}{{x - 2}} = 2x + 1 - \frac{1}{{x - 2}}\)\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  \mp \infty } \left[ {y - \left( {2x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \mp \infty } \frac{{ - 1}}{{x - 2}} = 0\).

Do đó tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình \(y = 2x + 1\).

Ta có :\(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} = 2x - 1 + \frac{1}{{x - 1}}\)nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng\(x = 1\) và đường tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = 2x - 1\).

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\) nên giao điểm của hai đường tiệm cận là \(I\left( {1;\,1} \right)\).

Ta có :\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \,y = 2,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \,y =  + \infty \] nên hàm số có tiệm cận ngang là\(y = 2\)và tiệm cận

đứng là \(x = 0\).

Tập xác định :\(D = \left[ { - 9\,;\,\, + \infty } \right){\rm{\backslash }}\left\{ {0\,;\, - 1} \right\}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 9}  + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 9}  + 3} \right)}} = \frac{1}{6}\)\( \Rightarrow \)\(x = 0\) không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{\sqrt {x + 9}  - 3}}{{{x^2} + x}} =  + \infty \]\( \Rightarrow x =  - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = 2\].

Vậy \[y = 2\] là phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\].

Ta có \[y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x + 1}} = x - 2 + \frac{3}{{x + 1}}\].

Suy ra: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{3}{{x + 1}} = 0\]

Vậy \[y = x - 2\] là phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x + 1}}\].

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} y =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  - \infty \) suy ra đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng \(x =  - 2\) và \(x = 2\).

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 0\) suy ra đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng \(y = 0\).

Vậy đồ thị hàm số có \(3\) đường tiệm cận.