Gọi \(\left( C \right)\) là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + \left( {3 - m} \right)x + {m^2} - 2}}{{x - 1}}\), với \(m\)là tham số. Gọi \(\left( d \right)\) là đường tiệm cận xiên của \(\left( C \right)\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a. Khi \(m = 2\) thì \(\left( d \right)\) có phương trình là \(y = 2x + 3\).                   

b. Khi \(m = 1\) thì \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {1;\,4} \right)\) .                     

c. Có 2 đường thẳng \(\left( d \right)\) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 9.        

d. Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến \(\left( d \right)\) bằng \(\sqrt 3 \) thì \(m = \sqrt 5 \).

Ta có \(y = mx + 3 + \frac{{{m^2} + 1}}{{x - 1}}\), do đó \(\left( C \right)\) có tiệm cận xiên là \(\left( d \right)\): \(y = mx + 3\left( {m \ne 0} \right)\).

a Đúng.

Với \(m = 2\) thì \(\left( d \right)\) có phương trình là \(y = 2x + 3\).

b Đúng.

Ta có \(A\left( {1;4} \right) \in \left( d \right) \Leftrightarrow 4 = m + 3 \Leftrightarrow m = 1.\)(nhận)

c Đúng.

Giao điểm của \(\left( d \right)\) với hai trục tọa độ là \(M\left( {0;\,3} \right);\,N\left( { - \frac{3}{m};0} \right)\).

Diện tích tam giác vuông \(OMN\) là \(S = \frac{1}{2}OM.ON = \frac{1}{2}.3.\left| {\frac{3}{m}} \right| = \frac{9}{{2\left| m \right|}}\)

Ta có \(S = 9 \Leftrightarrow \frac{9}{{2\left| m \right|}} = 9 \Leftrightarrow \left| m \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m =  \pm \frac{1}{2}\). (nhận)

Vậy có 2 đường thẳng \(\left( d \right)\) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 9.

d. Sai

Ta có \(d\left( {O;\left( d \right)} \right) = \sqrt 3  \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \sqrt 3  \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} + 1}  = \sqrt 3  \Leftrightarrow {m^2} + 1 = 3 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 2 \).