Cho hàm số  \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\] và có bảng biến thiên như sau

Xét hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x - 2} \right)\). Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

a)     Hàm số \(y = g\left( x \right)\) có tập xác định là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1 \pm \sqrt 3 } \right\}.\]

b)    Hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 2 tiện cận đứng.

c)     Hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 1 tiệm cận ngang là \(y = 1\).

d)    Tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) là 3.

a)    Sai.

Ta có \({x^2} - 2x - 2 \ne 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne  - 1}\\{x \ne 3}\end{array}} \right.\). Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) có tập xác định là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;3} \right\}.\]

b)    Đúng.

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \[y = f\left( x \right)\]  ta có:

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} f\left( {{x^2} - 2x - 2} \right) =  + \infty \) nên \[x =  - 1\] là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) . 

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( {{x^2} - 2x - 2} \right) =  - \infty \)  nên \[x = 3\] là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) .

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 2 tiện cận đứng \[x =  - 1\] và \[x = 3\].

c)    Sai.

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( {{x^2} - 2x - 2} \right) =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( {{x^2} - 2x - 2} \right) =  - \infty \) nên đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) không có tiệm cận ngang.

d)    Sai.

Vậy đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x - 2} \right)\) có \[2\] đường tiệm cận đứng là \[x =  - 1\];\[x = 3\] và không có tiệm cận ngang.