Cho hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + \left( {3{m^2} - 2} \right)x - 2}}{{x + 3m}}\)\(\left( 1 \right)\), với \(m\)là tham số. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a. Khi \(m = 1\) thì đồ thị hàm số của \(\left( 1 \right)\) không có tiệm cận ngang.

b. Khi \(m = 1\) thì đồ thị hàm số của \(\left( 1 \right)\) có tiệm cận đứng là \(y =  - 3\).                       

c. Khi \(m = 1\) thì đồ thị hàm số của \(\left( 1 \right)\) có tiệm cận xiên là \(y = x - 2\).                       

d. Khi góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số bằng 450  thì \(m = 2\).

Khi m =1 ta có \[y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 3}} = x - 2 + \frac{4}{{x + 3}}\].

a. Đúng

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \] nên đồ thị hàm số của \(\left( 1 \right)\)không có tiệm cận ngang.

b. Sai

Ta có\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ - }} y =  - \infty \] nên đồ thị hàm số của \(\left( 1 \right)\) có tiệm cận đứng là \(x =  - 3\).

c. Đúng

Ta có\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {\frac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 3}} - \left( {x - 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {x - 2 + \frac{4}{{x + 3}} - \left( {x - 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{4}{{x + 3}} = 0\] nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là \(y = x - 2\).

d. Sai

Ta có \(y = \frac{{m{x^2} + \left( {3{m^2} - 2} \right)x - 2}}{{x + 3m}} = mx - 2 + \frac{{6m - 2}}{{x + 3m}}\) .

Gọi (Cm)  là đồ thị hàm số của \(\left( 1 \right)\).

(Cm) có tiệm cận đứng \({d_1}:x =  - 3m \Leftrightarrow x + 3m = 0\) và tiệm cận xiên \({d_2}:\) \(y = mx - 2 \Leftrightarrow mx - y - 2 = 0\) \(\left( {m \ne \frac{1}{3};m \ne 0} \right)\).

Ta có: \(\cos {45^0} = \frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}\) \( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}\) \( \Leftrightarrow {m^2} = 1\) \( \Leftrightarrow m =  \pm 1\) (nhận).