Cho hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + \left( {3{m^2} - 2} \right)x - 2}}{{x + 3m}}\)\(\left( 1 \right)\), với \(m\)là tham số. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a. Khi \(m = 1\) thì đồ thị hàm số của \(\left( 1 \right)\) không có tiệm cận ngang.

b. Khi \(m = 1\) thì đồ thị hàm số của \(\left( 1 \right)\) có tiệm cận đứng là \(y =  - 3\).                       

c. Khi \(m = 1\) thì đồ thị hàm số của \(\left( 1 \right)\) có tiệm cận xiên là \(y = x - 2\).                       

d. Khi góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số bằng 450  thì \(m = 2\).

TH1: \(m = 0\)\( \Rightarrow y = \frac{1}{{f(x)}}\).

Đồ thị hàm số có một TCN \(y = 0\) và ba tiệm cận đứng nên \(m = 0\) không thoả mãn.

TH2: \(m < 0\)

Đồ thị hàm số không có TCN

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow f(x) = m\) có nghiệm, trong đó có đúng hai nghiệm thoả mãn \(1 + m{x^2} \ge 0\).

Mà \(m\)là số nguyên nên dựa vào đồ thị ta chỉ cần xét \[m \in \left\{ { - 2;\left. { - 1} \right\}} \right.\].

+ Với \(m = - 2 \Rightarrow y = \frac{{\sqrt {1 - 2{x^2}} }}{{f(x) + 2}}\). Khi đó \(f(x) = - 2\)có hai nghiệm \({x_1} = 0\;;{x_2} = a > 2\). Nghiệm \({x_2}\) không thoả mãn điều kiện \(1 - 2{x^2} \ge 0\)nên \(m = - 2\) không thoả mãn

+ Với \(m = - 1 \Rightarrow y = \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{f(x) + 1}}\) Khi đó \(f(x) = - 1\) có hai nghiệm \({x_1} = b\; \in \left( { - 1;0} \right);{x_2} = c \in \left( {0;1} \right)\). Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện\(1 - {x^2} \ge 0\) nên \(m = - 1\) thoả mãn.

TH3: \(m > 0\). Khi đó \(1 + m{x^2} > 0,\forall x \in R\).

Đồ thị hàm số có một TCN \(y = 0\).

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow f(x) = m\)có đúng một nghiệm \(x \in R \Leftrightarrow m > 2\).

Vì \(m\)nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 100;100} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in Z\\m \in \left[ {3;100} \right] \cup \left\{ { - 1} \right\}\end{array} \right.\)nên có \(99\)giá trị.

Đáp số : 99.

Ta có \(y = mx + 3 + \frac{{{m^2} + 1}}{{x - 1}}\), do đó \(\left( C \right)\) có tiệm cận xiên là \(\left( d \right)\): \(y = mx + 3\left( {m \ne 0} \right)\).

a Đúng.

Với \(m = 2\) thì \(\left( d \right)\) có phương trình là \(y = 2x + 3\).

b Đúng.

Ta có \(A\left( {1;4} \right) \in \left( d \right) \Leftrightarrow 4 = m + 3 \Leftrightarrow m = 1.\)(nhận)

c Đúng.

Giao điểm của \(\left( d \right)\) với hai trục tọa độ là \(M\left( {0;\,3} \right);\,N\left( { - \frac{3}{m};0} \right)\).

Diện tích tam giác vuông \(OMN\) là \(S = \frac{1}{2}OM.ON = \frac{1}{2}.3.\left| {\frac{3}{m}} \right| = \frac{9}{{2\left| m \right|}}\)

Ta có \(S = 9 \Leftrightarrow \frac{9}{{2\left| m \right|}} = 9 \Leftrightarrow \left| m \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m =  \pm \frac{1}{2}\). (nhận)

Vậy có 2 đường thẳng \(\left( d \right)\) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 9.

d. Sai

Ta có \(d\left( {O;\left( d \right)} \right) = \sqrt 3  \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \sqrt 3  \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} + 1}  = \sqrt 3  \Leftrightarrow {m^2} + 1 = 3 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 2 \).