Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 5}}{{x + 2}}\) là

TH1: \(m = 0\)\( \Rightarrow y = \frac{1}{{f(x)}}\).

Đồ thị hàm số có một TCN \(y = 0\) và ba tiệm cận đứng nên \(m = 0\) không thoả mãn.

TH2: \(m < 0\)

Đồ thị hàm số không có TCN

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow f(x) = m\) có nghiệm, trong đó có đúng hai nghiệm thoả mãn \(1 + m{x^2} \ge 0\).

Mà \(m\)là số nguyên nên dựa vào đồ thị ta chỉ cần xét \[m \in \left\{ { - 2;\left. { - 1} \right\}} \right.\].

+ Với \(m = - 2 \Rightarrow y = \frac{{\sqrt {1 - 2{x^2}} }}{{f(x) + 2}}\). Khi đó \(f(x) = - 2\)có hai nghiệm \({x_1} = 0\;;{x_2} = a > 2\). Nghiệm \({x_2}\) không thoả mãn điều kiện \(1 - 2{x^2} \ge 0\)nên \(m = - 2\) không thoả mãn

+ Với \(m = - 1 \Rightarrow y = \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{f(x) + 1}}\) Khi đó \(f(x) = - 1\) có hai nghiệm \({x_1} = b\; \in \left( { - 1;0} \right);{x_2} = c \in \left( {0;1} \right)\). Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện\(1 - {x^2} \ge 0\) nên \(m = - 1\) thoả mãn.

TH3: \(m > 0\). Khi đó \(1 + m{x^2} > 0,\forall x \in R\).

Đồ thị hàm số có một TCN \(y = 0\).

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow f(x) = m\)có đúng một nghiệm \(x \in R \Leftrightarrow m > 2\).

Vì \(m\)nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 100;100} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in Z\\m \in \left[ {3;100} \right] \cup \left\{ { - 1} \right\}\end{array} \right.\)nên có \(99\)giá trị.

Đáp số : 99.

Ta có: \({f^2}(x) - 2f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = 0\,\,\,\,(1)\\f(x) = 2\,\,\,\,(2)\end{array} \right..\)

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:

\((1)\,\)có nghiệm\({x_1} = a < - 1\) (nghiệm đơn) và \({x_2} = 1\) (nghiệm kép)\( \Rightarrow f(x) = k(x - a){(x - 1)^2}\left( {k \ne 0} \right)\)

\((2)\) có nghiệm ba nghiệm đơn \({x_3},{\rm{ }}{x_4},{\rm{ }}{x_5}\)với \[{x_3} = b < - 1 < {x_4} = 0 < 1 < {x_5} = c\] \( \Rightarrow f(x) - 2 = m(x - b)x(x - c){\rm{ }}\left( {m \ne 0} \right).\)

\( \Rightarrow \)Hàm số \(y = g(x)\)có tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {a;\,b;\,0;\,1;\,c} \right\}\]

Tại các điểm \(x = a,{\rm{ }}x = b,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 1,{\rm{ }}x = c\) mẫu của \(g\left( x \right)\) nhận giá trị bằng \(0\)còn tử nhận các giá trị dương. Và do hàm số xác định trên \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {a;\,b;\,0;\,1;\,c} \right\}\]nên giới hạn một bên của hàm số \(y = g\left( x \right)\)tại các điểm \(x = a,{\rm{ }}x = b,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 1,{\rm{ }}x = c\) là các giới hạn vô cực. Do đó, đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\)có 5 tiệm cận đứng, đó là các đường thẳng \(x = a,{\rm{ }}x = b,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 1,{\rm{ }}x = c\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\)có 5 tiệm cận đứng \(x = a,{\rm{ }}x = b,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 1,{\rm{ }}x = c\).