Tìm số điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\).

Ta có : \(h = x\,\,\left( {cm} \right)\) là đường cao hình hộp

Vì tấm nhôm được gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy của hình hộp là \(12 - 2x\,\,\left( {cm} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\12 - 2x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x < 6\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( {0;6} \right)\)

Thể tích của hình hộp là: \[V = x{\left( {12 - 2x} \right)^2}\]

Xét hàm số\[y = x{\left( {12 - 2x} \right)^2}\,,\,x \in \left( {0;6} \right)\]

Ta có \(y' = {\left( {12 - 2x} \right)^2} - 4x\left( {12 - 2x} \right) = \left( {12 - 2x} \right)\left( {12 - 6x} \right)\) ;

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left( {12 - 2x} \right).\left( {12 - 6x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\)(nhận) hoặc \(x = 6\)(loại).

 Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là \(y\left( 2 \right) = 128\).

Vậy \(x = 2\)(cm) thì thể tích hộp là lớn nhất

Với \(x \in \left[ { - 3;3} \right] \Rightarrow 0 \le \sqrt {9 - {x^2}}  \le 3\), dựa vào đồ thị ta có \( - \frac{1}{2} \le f\left( {\sqrt {9 - {x^2}} } \right) \le \frac{3}{2}\)

Suy ra \( - 1 \le 2f\left( {\sqrt {9 - {x^2}} } \right) \le 3\)

Để \(2f\left( {\sqrt {9 - {x^2}} } \right) = m - 2024\) có nghiệm thì \( - 1 \le m - 2024 \le 3\) hay \(2023 \le m \le 2027\)

Vậy có 5 giá trị nguyên \(m\) thoả điều kiện bài toán.