Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là $100$km. Vận tốc dòng nước là $5$(km/h). Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là $v$ (km/h), $\left( {v > 5} \right)$ thì năng lượng tiêu hao của cá trong $t$ giờ được cho bởi công thức $E\left( v \right) = c.{v^3}.t$, trong đó $c$ là hằng số dương, $E$ được tính bằng Jun. Biết rằng vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng $\left( {a\,;\,b} \right)$ thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Hãy tính giá trị lớn nhất của $b - a$ (kết quả làm tròn tới hàng phần mười).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập Toán 12 Chân trời sáng tạo Chương 1 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Khi bơi ngược dòng vận tốc của cá là $v - 5$(km/h).

Thời gian để cá vượt khoảng cách $100$km là $t = \frac{{100}}{{v - 5}}\,\left( {v > 5} \right)$.

Năng lượng tiêu hao của cá khi vượt khoảng cách $100$km là $E\left( v \right) = c.{v^3}.\frac{{100}}{{v - 5}} = 100c.\frac{{{v^3}}}{{v - 5}}$.

Xét hàm số $y = E\left( v \right)$ ta có $E'\left( v \right) = 100c.\frac{{3{v^2}\left( {v - 5} \right) - {v^3}}}{{{{\left( {v - 5} \right)}^2}}} = 100c.\frac{{{v^2}\left( {2v - 15} \right)}}{{{{\left( {v - 5} \right)}^2}}}$.

Giải phương trình $E'\left( v \right) = 0 \Leftrightarrow v = 7,5$(do $v > 5$). Ta có bảng biến thiên

$Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là $100$km. Vận tốc dòng nước là $5$(km/h). (ảnh 1)$

Vậy vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng $\left( {5\,;\,7,5} \right)$ thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Khi đó giá trị lớn nhất của $b - a$ là 2,5.

Đáp án: 2,5.

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Để làm một cửa sổ có dạng một hình bán nguyệt và một hình chữ nhật ghép lại như hình vẽ bên dưới, người ta dùng $8 {\rm{m}}$ dây thép để làm các đường viền. Gọi $x, y$ là độ dài cạnh của khung hình chữ nhật.

$Để làm một cửa sổ có dạng một hình bán nguyệt và một hình chữ nhật ghép lại như hình vẽ bên dưới, người ta dùng $8 {\rm{m}}$ dây thép để làm các đường viền. Gọi $x, y$ là độ dài cạnh của khung hình chữ nhật. (ảnh 1)$

a) Chiều dài dây để uốn ra bán nguyệt là $\frac{{\pi x}}{2}$.

b) Giá trị của $y$ tính theo $x$ là $4 - \frac{{x\left( {4 + \pi } \right)}}{4}$.

c) Diện tích của cửa sổ là $S = 4x - {x^2}$.

d) Khi diện tích của cửa sổ lớn nhất thì $y = \frac{{16}}{{8 + \pi }}$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Đúng. Bán kính của hình bán nguyệt là $\frac{x}{2}$ nên nửa chu vi bán nguyệt là $\frac{{\pi x}}{2}$.

b) Đúng. Ta có $2\left( {x + y} \right) + \frac{{\pi x}}{2} = 8 \Leftrightarrow y = 4 - \frac{{x\left( {4 + \pi } \right)}}{4}$.

c) Sai. Diện tích của cửa sổ:$S = xy + \frac{1}{2}\pi {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = x\left( {4 - x - \frac{{\pi x}}{4}} \right) + \frac{{\pi {x^2}}}{8} = 4x - {x^2} - \frac{{\pi {x^2}}}{8}$.

d) Đúng. $S$ đạt giá trị lớn nhất khi $x = \frac{4}{{2 + \frac{\pi }{4}}} = \frac{{16}}{{8 + \pi }}$ nên $y = 4 - x - \frac{{\pi x}}{4} = \frac{{16}}{{8 + \pi }}$.

Câu 2

Tại một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nhân viên phụ trách sản xuất cho biết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất $x\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$ nước tinh khiết thì phải chi phí các khoản sau: 5 triệu đồng chi phí cố định; $0,15$ triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; $0,0005{x^2}$chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là $200\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$. Gọi $C\left( x \right)$ là chi phí sản xuất $x\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$ sản phẩm mỗi ngày và $\overline c \left( x \right)$ là chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm.

a) $C\left( x \right) = 0,0005{x^2} + 0,15x + 5$.

b) Chi phí sản xuất $100\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$ nước tinh khiết là 20 triệu đồng.

c) $\overline c \left( x \right) = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}$.

d) Chi phí trung bình giảm xuống khi sản lượng nước tính khiết trong ngày không vượt quá 100 ${{\rm{m}}^3}$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Đúng. Chi phí mỗi ngày là tổng các chi phí nên $C\left( x \right) = 0,0005{x^2} + 0,15x + 5$ (triệu đồng).

b) Sai. Khi $x = 100$, ta có $C\left( {100} \right) = 0,0005 \times {100^2} + 0,15 \times 100 + 5 = 25$.

c) Sai. Chi phí trung bình trên mỗi khối sản phẩm là:

$\overline c \left( x \right) = \frac{{0,0005{x^2} + 0,15x + 5}}{x} = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}$.

d) Đúng. Xét hàm số $\overline c \left( x \right) = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}$, $0 < x \le 200$.

Ta có ${\overline c ^{\,\prime }}\left( x \right) = \frac{5}{{{{10}^4}}} - \frac{5}{{{x^2}}}$, ${\overline c ^\prime }\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = {10^4} \Rightarrow x = 100$ (do $x \in \left( {0;200} \right]$.

Bảng biến thiên:

$Tại một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nhân viên phụ trách sản xuất cho biết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất \(x\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm (ảnh 1)$

Vậy chi phí trung bình giảm khi hàm số $\overline c \left( x \right)$nghịch biến, tức là $x \in \left( {0;100} \right)$.

Câu 3