Câu hỏi:

02/10/2025 42 Lưu

Giả sử doanh số bán hàng (đơn vị triệu đồng) của một sản phẩm mới trong vòng một số năm nhất định tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số \(f\left( t \right) = 500\left( {{t^2} + m{e^{ - t}}} \right)\), với \(t \ge 0\) là thời gian tính bằng năm kể từ khi phát hành sản phẩm mới, \(m \le 0\) là tham số. Khi đó đạo hàm \(f'\left( t \right)\) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Biết rằng tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu phát hành sản phẩm, khi đó giá trị nhỏ nhất của \(m\) bằng bao nhiêu?

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Ta có \(f'\left( t \right) = 500\left( {2t - m{e^{ - t}}} \right)\) và \[f''\left( t \right) = 500\left( {2 + m{e^{ - t}}} \right)\].

Tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu phát hành sản phẩm \( \Leftrightarrow f'\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ {0\,;\,10} \right]\) \( \Leftrightarrow f''\left( t \right) \ge 0\), \(\forall t \in \left[ {0\,;\,10} \right]\)\( \Leftrightarrow \)\[500\left( {2 + m{e^{ - t}}} \right) \ge 0\,,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,10} \right]\]

\( \Leftrightarrow \)\[2 + m{e^{ - t}} \ge 0\,,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,10} \right]\]\( \Leftrightarrow \)\[m{e^{ - t}} \ge  - 2\,,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,10} \right]\]\( \Leftrightarrow m \ge  - 2{e^t}\,,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,10} \right]\)

\( \Leftrightarrow m \ge  - 2{e^0} =  - 2\) (do hàm số \(y =  - 2{e^t}\) nghịch biến trên \(\left[ {0\,;\,10} \right]\)).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(m\) là \( - 2\).

Đáp án: −2.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Đúng. Bán kính của hình bán nguyệt là \(\frac{x}{2}\) nên nửa chu vi bán nguyệt là \(\frac{{\pi x}}{2}\).

b) Đúng. Ta có \(2\left( {x + y} \right) + \frac{{\pi x}}{2} = 8 \Leftrightarrow y = 4 - \frac{{x\left( {4 + \pi } \right)}}{4}\).

c) Sai. Diện tích của cửa sổ:\(S = xy + \frac{1}{2}\pi {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = x\left( {4 - x - \frac{{\pi x}}{4}} \right) + \frac{{\pi {x^2}}}{8} = 4x - {x^2} - \frac{{\pi {x^2}}}{8}\).

d) Đúng. \(S\) đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \frac{4}{{2 + \frac{\pi }{4}}} = \frac{{16}}{{8 + \pi }}\) nên \(y = 4 - x - \frac{{\pi x}}{4} = \frac{{16}}{{8 + \pi }}\).

Lời giải

a) Đúng. Chi phí mỗi ngày là tổng các chi phí nên \(C\left( x \right) = 0,0005{x^2} + 0,15x + 5\) (triệu đồng).

b) Sai. Khi \(x = 100\), ta có \(C\left( {100} \right) = 0,0005 \times {100^2} + 0,15 \times 100 + 5 = 25\).

c) Sai. Chi phí trung bình trên mỗi khối sản phẩm là:

\(\overline c \left( x \right) = \frac{{0,0005{x^2} + 0,15x + 5}}{x} = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}\).

d) Đúng. Xét hàm số \(\overline c \left( x \right) = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}\), \(0 < x \le 200\).

Ta có \({\overline c ^{\,\prime }}\left( x \right) = \frac{5}{{{{10}^4}}} - \frac{5}{{{x^2}}}\), \({\overline c ^\prime }\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = {10^4} \Rightarrow x = 100\) (do \(x \in \left( {0;200} \right]\).

Bảng biến thiên:

Tại một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nhân viên phụ trách sản xuất cho biết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất \(x\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm (ảnh 1)

Vậy chi phí trung bình giảm khi hàm số \(\overline c \left( x \right)\)nghịch biến, tức là \(x \in \left( {0;100} \right)\).