Giả sử doanh số bán hàng (đơn vị triệu đồng) của một sản phẩm mới trong vòng một số năm nhất định tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số \(f\left( t \right) = 500\left( {{t^2} + m{e^{ - t}}} \right)\), với \(t \ge 0\) là thời gian tính bằng năm kể từ khi phát hành sản phẩm mới, \(m \le 0\) là tham số. Khi đó đạo hàm \(f'\left( t \right)\) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Biết rằng tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu phát hành sản phẩm, khi đó giá trị nhỏ nhất của \(m\) bằng bao nhiêu?
Giả sử doanh số bán hàng (đơn vị triệu đồng) của một sản phẩm mới trong vòng một số năm nhất định tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số \(f\left( t \right) = 500\left( {{t^2} + m{e^{ - t}}} \right)\), với \(t \ge 0\) là thời gian tính bằng năm kể từ khi phát hành sản phẩm mới, \(m \le 0\) là tham số. Khi đó đạo hàm \(f'\left( t \right)\) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Biết rằng tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu phát hành sản phẩm, khi đó giá trị nhỏ nhất của \(m\) bằng bao nhiêu?
Quảng cáo
Trả lời:

Ta có \(f'\left( t \right) = 500\left( {2t - m{e^{ - t}}} \right)\) và \[f''\left( t \right) = 500\left( {2 + m{e^{ - t}}} \right)\].
Tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu phát hành sản phẩm \( \Leftrightarrow f'\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ {0\,;\,10} \right]\) \( \Leftrightarrow f''\left( t \right) \ge 0\), \(\forall t \in \left[ {0\,;\,10} \right]\)\( \Leftrightarrow \)\[500\left( {2 + m{e^{ - t}}} \right) \ge 0\,,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,10} \right]\]
\( \Leftrightarrow \)\[2 + m{e^{ - t}} \ge 0\,,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,10} \right]\]\( \Leftrightarrow \)\[m{e^{ - t}} \ge - 2\,,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,10} \right]\]\( \Leftrightarrow m \ge - 2{e^t}\,,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,10} \right]\)
\( \Leftrightarrow m \ge - 2{e^0} = - 2\) (do hàm số \(y = - 2{e^t}\) nghịch biến trên \(\left[ {0\,;\,10} \right]\)).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(m\) là \( - 2\).
Đáp án: −2.
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Đúng. Bán kính của hình bán nguyệt là \(\frac{x}{2}\) nên nửa chu vi bán nguyệt là \(\frac{{\pi x}}{2}\).
b) Đúng. Ta có \(2\left( {x + y} \right) + \frac{{\pi x}}{2} = 8 \Leftrightarrow y = 4 - \frac{{x\left( {4 + \pi } \right)}}{4}\).
c) Sai. Diện tích của cửa sổ:\(S = xy + \frac{1}{2}\pi {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = x\left( {4 - x - \frac{{\pi x}}{4}} \right) + \frac{{\pi {x^2}}}{8} = 4x - {x^2} - \frac{{\pi {x^2}}}{8}\).
d) Đúng. \(S\) đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \frac{4}{{2 + \frac{\pi }{4}}} = \frac{{16}}{{8 + \pi }}\) nên \(y = 4 - x - \frac{{\pi x}}{4} = \frac{{16}}{{8 + \pi }}\).
Lời giải
a) Đúng. Chi phí mỗi ngày là tổng các chi phí nên \(C\left( x \right) = 0,0005{x^2} + 0,15x + 5\) (triệu đồng).
b) Sai. Khi \(x = 100\), ta có \(C\left( {100} \right) = 0,0005 \times {100^2} + 0,15 \times 100 + 5 = 25\).
c) Sai. Chi phí trung bình trên mỗi khối sản phẩm là:
\(\overline c \left( x \right) = \frac{{0,0005{x^2} + 0,15x + 5}}{x} = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}\).
d) Đúng. Xét hàm số \(\overline c \left( x \right) = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}\), \(0 < x \le 200\).
Ta có \({\overline c ^{\,\prime }}\left( x \right) = \frac{5}{{{{10}^4}}} - \frac{5}{{{x^2}}}\), \({\overline c ^\prime }\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = {10^4} \Rightarrow x = 100\) (do \(x \in \left( {0;200} \right]\).
Bảng biến thiên:
Vậy chi phí trung bình giảm khi hàm số \(\overline c \left( x \right)\)nghịch biến, tức là \(x \in \left( {0;100} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.