Một xưởng mộc dùng gỗ gụ để sản xuất 5 chiếc bàn mỗi ngày. Chi phí cho mỗi lần vận chuyển nguyên liệu là 5000 USD, chi phí để lưu trữ một đơn vị nguyên liệu là 10 USD mỗi ngày, trong đó một đơn vị là lượng nguyên liệu cần thiết để sản xuất 1 chiếc bàn. Hỏi mỗi lần xưởng mộc nên đặt mua bao nhiêu đơn vị nguyên liệu và bao lâu đặt giao nguyên liệu một lần để chi phí trung bình hằng ngày (bao gồm chi phí vận chuyển và chi phí lưu trữ) trong chu kì sản xuất giữa các lần giao hàng là ít nhất?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập Toán 12 Chân trời sáng tạo Chương 1 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử nguyên liệu được giao sau mỗi $x$ ngày $(x > 0)$. Để đảm bảo đủ nguyên liệu cho mỗi chu kì sản xuất, xưởng mộc phải đặt $5x$ đơn vị nguyên liệu cho mỗi lần giao hàng.

Trong mỗi ngày của chu kì sản xuất, lượng nguyên liệu cần được lưu trữ trung bình là $\frac{{5x}}{2}$ đơn vị nguyên liệu.

Do đó, chi phí để lưu trữ nguyên liệu trong $x$ ngày của chu kì sản xuất là $10 \cdot \frac{{5x}}{2} \cdot x = 25{x^2}$ (USD).

Từ đây, chi phí cần bỏ ra cho mỗi chu kì sản xuất là $C\left( x \right) = 5000 + 25{x^2}$. Do đó, ta có hàm chi phí trung bình hằng ngày trong một chu kì sản xuất là $c\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{5000}}{x} + 25x.$

Ta có: $c'\left( x \right) = - \frac{{5000}}{{{x^2}}} + 25;$ $c'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 10\sqrt 2 \approx 14,14$.

Lập bảng biến thiên:

Một xưởng mộc dùng gỗ gụ để sản xuất 5 chiếc bàn mỗi ngày. Chi phí cho mỗi lần vận chuyển nguyên liệu là 5000 USD, chi phí để lưu trữ một đơn vị nguyên liệu là 10 USD mỗi ngày, trong đó một đơn vị là lượng nguyên liệu cần thiết để sản xuất 1 chiếc bàn. (ảnh 1)

Vậy để chi phí trung bình hằng ngày trong một chu kì sản xuất là ít nhất thì xưởng mộc nên đặt giao nguyện liệu sau mỗi 14 ngày và mỗi lần giao $5 \cdot 14 = 70$ đơn vị nguyên liệu.

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Để làm một cửa sổ có dạng một hình bán nguyệt và một hình chữ nhật ghép lại như hình vẽ bên dưới, người ta dùng $8 {\rm{m}}$ dây thép để làm các đường viền. Gọi $x, y$ là độ dài cạnh của khung hình chữ nhật.

$Để làm một cửa sổ có dạng một hình bán nguyệt và một hình chữ nhật ghép lại như hình vẽ bên dưới, người ta dùng $8 {\rm{m}}$ dây thép để làm các đường viền. Gọi $x, y$ là độ dài cạnh của khung hình chữ nhật. (ảnh 1)$

a) Chiều dài dây để uốn ra bán nguyệt là $\frac{{\pi x}}{2}$.

b) Giá trị của $y$ tính theo $x$ là $4 - \frac{{x\left( {4 + \pi } \right)}}{4}$.

c) Diện tích của cửa sổ là $S = 4x - {x^2}$.

d) Khi diện tích của cửa sổ lớn nhất thì $y = \frac{{16}}{{8 + \pi }}$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Đúng. Bán kính của hình bán nguyệt là $\frac{x}{2}$ nên nửa chu vi bán nguyệt là $\frac{{\pi x}}{2}$.

b) Đúng. Ta có $2\left( {x + y} \right) + \frac{{\pi x}}{2} = 8 \Leftrightarrow y = 4 - \frac{{x\left( {4 + \pi } \right)}}{4}$.

c) Sai. Diện tích của cửa sổ:$S = xy + \frac{1}{2}\pi {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = x\left( {4 - x - \frac{{\pi x}}{4}} \right) + \frac{{\pi {x^2}}}{8} = 4x - {x^2} - \frac{{\pi {x^2}}}{8}$.

d) Đúng. $S$ đạt giá trị lớn nhất khi $x = \frac{4}{{2 + \frac{\pi }{4}}} = \frac{{16}}{{8 + \pi }}$ nên $y = 4 - x - \frac{{\pi x}}{4} = \frac{{16}}{{8 + \pi }}$.

Câu 2

Tại một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nhân viên phụ trách sản xuất cho biết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất $x\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$ nước tinh khiết thì phải chi phí các khoản sau: 5 triệu đồng chi phí cố định; $0,15$ triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; $0,0005{x^2}$chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là $200\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$. Gọi $C\left( x \right)$ là chi phí sản xuất $x\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$ sản phẩm mỗi ngày và $\overline c \left( x \right)$ là chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm.

a) $C\left( x \right) = 0,0005{x^2} + 0,15x + 5$.

b) Chi phí sản xuất $100\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$ nước tinh khiết là 20 triệu đồng.

c) $\overline c \left( x \right) = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}$.

d) Chi phí trung bình giảm xuống khi sản lượng nước tính khiết trong ngày không vượt quá 100 ${{\rm{m}}^3}$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Đúng. Chi phí mỗi ngày là tổng các chi phí nên $C\left( x \right) = 0,0005{x^2} + 0,15x + 5$ (triệu đồng).

b) Sai. Khi $x = 100$, ta có $C\left( {100} \right) = 0,0005 \times {100^2} + 0,15 \times 100 + 5 = 25$.

c) Sai. Chi phí trung bình trên mỗi khối sản phẩm là:

$\overline c \left( x \right) = \frac{{0,0005{x^2} + 0,15x + 5}}{x} = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}$.

d) Đúng. Xét hàm số $\overline c \left( x \right) = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}$, $0 < x \le 200$.

Ta có ${\overline c ^{\,\prime }}\left( x \right) = \frac{5}{{{{10}^4}}} - \frac{5}{{{x^2}}}$, ${\overline c ^\prime }\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = {10^4} \Rightarrow x = 100$ (do $x \in \left( {0;200} \right]$.

Bảng biến thiên:

$Tại một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nhân viên phụ trách sản xuất cho biết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất \(x\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm (ảnh 1)$

Vậy chi phí trung bình giảm khi hàm số $\overline c \left( x \right)$nghịch biến, tức là $x \in \left( {0;100} \right)$.

Câu 3