Cho hàm số \(g(x) = \sqrt {{x^2} + 2x} - \sqrt {{x^2} - 1} - 2m\) với \(m\) là tham số.

Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = 0\), tìm giá trị của \(m\).

Đặt \[f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 1} \right){x^3} - 2{m^2}{x^2} - 4x + {m^2} + 1\].

Hàm số \[f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 1} \right){x^3} - 2{m^2}{x^2} - 4x + {m^2} + 1\] liên tục trên \[\mathbb{R}\].

Ta có: \[f\left( x \right) = {m^2}\left( {{x^3} - 2{x^2} + 1} \right) + {x^3} - 4x + 1\]

\[f\left( { - 3} \right) = - 44{m^2} - 14 < 0;\,\,\forall m\]

\[f\left( 0 \right) = {m^2} + 1 > 0,\forall m\,\]

\[f\left( 1 \right) = - 2\]

\[f\left( 2 \right) = {m^2} + 1 > 0\,;\,\,\forall m\]

Vì \[f\left( { - 3} \right).\,f\left( 0 \right) < 0\] nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng \[\left( { - 3;0} \right)\].

Vì \[f\left( 0 \right).\,f\left( 1 \right) < 0\] nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng \[\left( {0;1} \right)\].

Vì \[f\left( 1 \right).\,f\left( 2 \right) < 0\] nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng \[\left( {1;2} \right)\].

Vậy phương trình \[\left( {{m^2} + 1} \right){x^3} - 2{m^2}{x^2} - 4x + {m^2} + 1 = 0\] có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng \[\left( { - 3;2} \right)\], mà phương trình đã cho là bậc 3 nên phương trình có đúng 3 nghiệm

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3{x^2} - 2x} \right) = {3.2^2} - 2.2 = 8\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{4{x^2} + 2x + 1}}{{x - 4}} = - \frac{{13}}{6}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 24}}{{{x^2} - 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x - 3)\left( {{x^2} + 2x + 8} \right)}}{{(x - 3)(x + 3)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} + 2x + 8}}{{x + 3}} = \frac{{23}}{6}\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^3} + 5{x^2} - x - 14}}{{{x^2} - 7x - 18}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{(x + 2)\left( {{x^2} + 3x - 7} \right)}}{{(x + 2)(x - 9)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} + 3x - 7}}{{x - 9}} = \frac{9}{{11}}\)