Cho tam giác \(ABC(AB < AC),AD\) là phân giác trong của góc \(A\). Qua trung điểm \(M\) của cạnh \(BC\), ta kẻ đường thẳng song song với \(AD\), cắt cạnh \(AC\) tại \(E\) và cắt tia \(BA\) tại \(F\). Biết rằng \(AB = 6\) và \(4BD = 3BM\). Tính: \(|\overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {EM} |?\)

Chọn các điểm \(A,B\) thỏa mãn \(\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {OB} \) (hình vẽ). Gọi điểm \(C\) là một đỉnh của hình bình hành \(OACB\), khi đó ta có \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OC} \)(quy tắc hình bình hành).

Cường độ tổng hợp hai lực là: \(\left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC\)

Xét tam giác \(OAB\) có \(OA = OB = 100\) và \(\widehat {AOB} = 60^\circ \) nên tam giác \(OAB\) đều.

Gọi \(I\) là tâm hình bình hành \(OACB\), khi đó \(OI\) cũng là đường cao tam giác đều \(OAB\).

Do đó \(OI = \frac{{100\sqrt 3 }}{2} = 50\sqrt 3 \), suy ra \(OC = 2OI = 100\sqrt 3 \).

Vậy hợp lực của \({\vec F_1},{\vec F_2}\) có độ lớn là \(100\sqrt 3 N\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} \) \( = (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ) + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AC} \)

Gọi \(E\) đối xứng với \(A\) qua \(C\), suy ra \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CE} \).

Khi đó: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {AE} \).

Ta có: \(AE = 2AC = 2.2a\sqrt 2  = 4a\sqrt 2 \) (do \(AC\) là đường chéo của hình vuông cạnh \(2a\) ). Vậy \(|\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} | = AE = 4a\sqrt 2 \).