Cho hình vuông $ABCD$, tính \[{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right)\]

A. $\frac{1}{2}$.

B. $ - \frac{1}{2}$.

C. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

D. $ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Tích vô hướng của hai vectơ (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn D

Đầu tiên ta đi tìm số đo của góc \[\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right)\] sau đó mới tính \[{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right)\]

Vì $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = {180^{\rm{o}}} - \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = {135^{\rm{o}}} \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chữ nhật $ABCD,AB = 4a,AD = 3a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB,G$ là trọng tâm tam giác $ACM$ (Hình).

$Cho hình chữ nhật $ABCD,AB = 4a,AD = (ảnh 1)$

a) \(\overrightarrow {CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - 3\overrightarrow {BC} $

b) $\overrightarrow {BG} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .$

c) $\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = 0$

d) $\overrightarrow {BG} \cdot \overrightarrow {CM} = - {a^2}.$

Xem đáp án

Lời giải

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Ta có: $\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} $.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ACM$ nên

$3\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {BG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .$

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC = AD = 3a,\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = 0$.

Ta có: $\overrightarrow {BG} \cdot \overrightarrow {CM} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}$

$ = \frac{1}{4}{(4a)^2} - \frac{1}{3} \cdot 4a \cdot 3a - \frac{1}{3}{(3a)^2} = - 3{a^2}.$

Câu 2

Cho tam giác $ABC$, trung tuyến $AM$. Khi đó $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = A{M^2} - kB{C^2}.$ Vậy $k = ?$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

$Cho tam giác $ABC$, trung tuyến $AM$. Khi đó $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = A{M^2} - kB{C^2}.$ Vậy $k = ?$ (ảnh 1)$

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{{(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )}^2} - {{(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} )}^2}}}{4}\\ = \frac{{4A{M^2} - B{C^2}}}{4} = A{M^2} - \frac{1}{4}B{C^2}.\end{array}$

Câu 3