Câu hỏi:

12/10/2025 29

Cho hình vuông \[ABCD\] cạnh \[a\]. Tính $P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} } \right)$

A. $P = - 1$

B. $P = 3{a^2}$

C. $P = - 3{a^2}$

D. $P = 2{a^2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Tích vô hướng của hai vectơ (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C

Từ giả thiết suy ra \[AC = a\sqrt 2 \]

Ta có \[P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} - {\overrightarrow {AC} ^2}\]

\[ = - CA.CD\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} } \right) - A{C^2} = - a\sqrt 2 .a.\cos {45^0} - {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = - 3{a^2}\]

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$, biết $AD = a,BC = 3a$ và cạnh $AB = 2a$. Khi đó:

a) $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD} = - 4{a^2}$

b) $\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BD} = 2{a^2}$

c) $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = - 2{a^2}$

d) Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Khi đó$\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {IJ} = 6{a^2}$

Xem đáp án

Lời giải

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

$Cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$, biết $AD = a,BC = 3a$ và cạnh $AB = 2a$. Khi đó: a) \(\overrightarrow {AB} (ảnh 1)$

a) Tính $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD} $. Ta có: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} ) = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BA} + \underbrace {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} }_0$

$ = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BA} = - {\overrightarrow {AB} ^2} = - A{B^2} = - 4{a^2}{\rm{. }}$

b) Tính $\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BD} $. Ta có: $\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BD} = BC \cdot BD \cdot \cos (\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ) = BC \cdot BD \cdot \cos \widehat {DBC}$

$ = BC \cdot BD \cdot \cos \widehat {BDA} = BC \cdot BD \cdot \frac{{AD}}{{BD}} = BC \cdot AD = 3{a^3}{\rm{. }}$

(trong đó $\widehat {DBC} = \widehat {BDA}$ vì là hai góc so le trong).

c) Tính $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} $.

Ta có: $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} )(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} ) = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AD} $

$ = - {\overrightarrow {AB} ^2} + 0 + 0 + BC \cdot AD \cdot \cos {0^0} = - A{B^2} + 3a \cdot a \cdot 1 = - {(2a)^2} + 3{a^2} = - {a^2}.$

d) Tính $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {IJ} $. Ta có:

$\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {IJ} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ) \cdot \overrightarrow {IJ} = \underbrace {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {IJ} }_0 + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {IJ} = BC \cdot IJ \cdot \cos {0^0} = 3a \cdot 2a \cdot 1 = 6{a^2}.$

Câu 2

Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$, có cạnh $a$. Biết $M$ là trung điểm của $AB,G$ là trọng tâm tam giác $ADM$. Khi đó:

a) $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = {a^2}$

b) $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{3}$

c) $\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}$

d) $(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} )(\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} ) = {a^2}$

Xem đáp án

Lời giải

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

$Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$, (ảnh 1)$

Độ dài đường chéo hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ là $AC = BD = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 $.

Ta có: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - |\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {AC} | \cdot \cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} )$

$\begin{array}{l} = - A B \cdot A C \cdot \cos \hat{B A C} = - a \cdot a \sqrt{2} \cdot \cos 45^{°} = - a^{2} \\ \vec{A M} \cdot \vec{A C} = | \vec{A M} | \cdot | \vec{A C} | \cdot \cos (\vec{A M}, \vec{A C}) \\ = A M \cdot A C \cdot \cos \hat{C A M} = \frac{a}{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot \cos 45^{°} = \frac{a^{2}}{2} . \end{array}$

Ta có: $\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {AC} = |\overrightarrow {DA} | \cdot |\overrightarrow {DB} | \cdot \cos (\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DB} ) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AC} $

$\begin{array}{l} = D A \cdot D B \cdot \cos \hat{A D B} - \frac{1}{2} A D \cdot A C \cdot \cos \hat{C A D} \\ = a \cdot a \sqrt{2} \cdot \cos 45^{°} - \frac{1}{2} a \cdot a \sqrt{2} \cdot \cos 45^{°} = a^{2} - \frac{1}{2} a^{2} = \frac{1}{2} a^{2} . \end{array}$

Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} $ (quy tắc hình bình hành).

Do đó: $(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} )(\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} )$

$= \underset{0}{\underset{⏟}{\vec{A C} \cdot \vec{B D}}} + \vec{A C} \cdot \vec{B C} = \vec{C A} \cdot \vec{C B} = | \vec{C A} | \cdot | \vec{C B} | \cos \hat{A C B} = a \cdot a \sqrt{2} \cos 45^{°} = a^{2}$

(trong đó $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0$ vì $\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} $ ).

Câu 3