Cho hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {MN} \) như hình vẽ bên.

Khi đó \(\overrightarrow {MN} = a\overrightarrow {AB} ,a \in \mathbb{Z}\). Tìm \(a\).

Gọi N là trung điểm của BC.

Ta có \(\overrightarrow {GM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GD} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {GA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {GD} \)\( = - \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\overrightarrow {AN} + \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\overrightarrow {BD} \)\( = - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)\)

\( = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)\( = \frac{1}{6}\overrightarrow {BA} - \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)\( = \frac{1}{6}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{6}\overrightarrow {BA} - \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)

\( = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} \).

Suy ra \(m = 2;n = 1\). Do đó \(m + n = 3\).

Trả lời: 3.

Độ cao của quả bóng tính theo thời gian được xác định bởi hàm số \(h\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\)(m), \(t \ge 0\).

Với các thông số cho bởi bảng trên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\\frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + c = 28\\a + b + c = 48\\4a + 2b + c = 64\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 16\\b = 64\\c = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow h\left( t \right) = - 16{t^2} + 64t\). Do đó \(h\left( 3 \right) = 48\).

Vậy độ cao quả bóng đạt được tại thời điểm 3 giây là 48 m.