(1,5 điểm) Cho nửa đường tròn \[\left( O \right)\] đường kính \[AB\]. Lấy \[C\] nằm trên đường tròn \[\left( O \right)\]. Gọi \[K\] là trung điểm của dây cung \[BC\]. Qua \[B\] dựng tiếp tuyến với \[\left( O \right)\], cắt \[OK\] tại \[D\].

a) Chứng minh rằng \[OD \bot BC\] và \[\Delta ABC\] vuông.

b) Chứng minh \[DC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].

c) Vẽ \[CH \bot AB\] tại \[H\]. Gọi \[I\] là trung điểm của \[CH\]. Tiếp tuyến tại \[A\] của đường tròn \[\left( O \right)\] cắt \[BI\] tại \[E\]. Chứng minh \[E,C,D\] thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Sai.          c) Sai.              d) Sai.

Gọi \(x\) là vận tốc của xe tải, \(y\) là vận tốc của xe khách (\(y > x > 0\), km/h).

• Theo đề, mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải là \(15\) km nên \(y - x = 15.\)

Do đó, ý a) là đúng.

• Thời gian xe khách đã đi là: 1 giờ 40 phút + 40 phút = 2 giờ 20 phút = \(\frac{7}{3}\) giờ.

Khi hai xe gặp nhau, xe khách đi được quãng đường là: \(\frac{7}{3}y\) (km) và xe tải đi được quãng đường là \(\frac{2}{3}x\) (km).

Theo bài, quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh – Cần Thơ dài 170 km nên ta có phương trình: \(\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170\).

Do đó, ý b) là sai.

• Từ đó, ta có hệ phương trình biểu diễn bài toán là: \(\left\{ \begin{array}{l}y - x = 15\\\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170\end{array} \right.\).

Do đó, ý c) là sai.

• Thế \(y = 15 + x\), thế vào phương trình \(\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170\), ta được:

\(\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}\left( {15 + x} \right) = 170\)

\(\frac{2}{3}x + 35 + \frac{7}{3}x = 170\)

\(3x = 135\)

\(x = 45\) (thỏa mãn).

Thay \(x = 45\) vào phương trình (1), ta được: \(y = 15 + 45 = 60\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe tải là \(45\)km/h, vận tốc của xe khách là \(60\) km/h.

Vậy ý d) là sai.

Coi các sân đó là hình vuông \[ABCD\], phần lát gạch đỏ trang trí là hình vuông \[MNPQ\].

Ta chứng minh được \[\Delta AMQ = \Delta BNM = \Delta CPN = \Delta DQP\] (c.c.c)

Diện tích hình vuông \[MNPQ\] có diện tích nhỏ nhất khi tổng diện tích bốn tam giác vuông ở bốn góc hình vuông \[ABCD\] là lớn nhất.

Gọi \[S = {S_{\Delta AMQ}} + {S_{\Delta BNM}} + {S_{\Delta CPN}} + {S_{\Delta DQP}} = 4{S_{\Delta AMQ}} = 4 \cdot \frac{1}{2}AM \cdot AQ = 2 \cdot AM \cdot AQ\]

Mà \[AM + AQ = AM + MB = 16\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].

Lại có \[{\left( {AM - MB} \right)^2} \ge 0\]

Suy ra \[A{M^2} + M{B^2} \ge 2MA \cdot MB\]

Do đó, \[A{M^2} + 2MA \cdot MB + M{B^2} \ge 4MA \cdot MB\]

             \[{\left( {MA + MB} \right)^2} \ge 4MA \cdot MB\]

Suy ra \[2MA \cdot MB \le \frac{{{{\left( {MA + MB} \right)}^2}}}{2} = \frac{{{{16}^2}}}{2} = 128\] hay \[S \le 128\].

Dấu “=” xảy ra khi \[MA = MB = \frac{{AB}}{2} = 8{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Khi đó, \[M,\,N,\,P,\,Q\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AB,\,BC,\,CD,\,DA.\]

Vậy khi \[M,\,N,\,P,\,Q\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AB,\,BC,\,CD,\,DA\] thì diện tích hình vuông \[MNPQ\] nhỏ nhất.