Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 2}}{{x - 2}}\) là đường thẳng có phương trình:

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 2}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 2}} = - \infty \). Suy ra \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có \(y = x + 2 + \frac{7}{{x - 2}}\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{7}{{x - 2}} = 0\). Do đó \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Đường thẳng \({d_2}:y = x + 2\) cắt trục \(Oy\) tại \(A\left( {0;2} \right)\).

Đường thẳng \({d_1}:x = 2\) cắt \({d_2}:y = x + 2\) tại \(B\left( {2;4} \right)\).

Đường thẳng \({d_1}:x = 2\) cắt trục \(Ox\) tại \(C\left( {2;0} \right)\).

Do đó hai đường tiệm cận của đồ thị \(\left( C \right)\) cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình thang vuông \(OABC\).

Khi đó \({S_{OABC}} = \frac{{\left( {OA + BC} \right).OC}}{2} = 6\).

Trả lời: 6.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2x + 5}}{{x + 1}} = - \infty \]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2x + 5}}{{x + 1}} = + \infty \] nên \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\[y = \frac{{{x^2} + 2x + 5}}{{x + 1}} = x + 1 + \frac{4}{{x + 1}}\].

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{4}{{x + 1}} = 0\] nên \(y = x + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Suy ra giao điểm của hai đường tiệm cận là \(\left( { - 1;0} \right)\). Do đó \(a + b = - 1\).

Trả lời: −1.