Dân số của một quốc gia sau \[t\] (năm) bắt đầu từ năm \[2023\] được tính theo công thức \[N\left( t \right) = 100{e^{0,012t}}\] (trong đó \[N\left( t \right)\] được tính bằng triệu người, \[0 \le t \le 50\])

(a) Đúng: Gọi \(C'\left( {x;y;z} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {BC'}  = \left( {2; - 6;6} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 0 = 2}\\{y - 3 =  - 6}\\{z - 0 = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y =  - 3}\\{z = 6}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Rightarrow C\left( {2; - 3;6} \right)\).

(b) Đúng: Gọi \(O'\left( {x;y;z} \right)\). Theo hình vẽ thì \(\overrightarrow {AO'}  = \overrightarrow {BC'}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = 2}\\{y - 1 =  - 6}\\{z + 1 = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y =  - 5}\\{z = 5}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Rightarrow O'\left( {3; - 5;5} \right)\)

(c) Sai: Theo hình vẽ thì \(\overrightarrow {AB'}  = \overrightarrow {OC'}  = \left( {2; - 3;6} \right)\).

(d) Sai: Ta có \(\overrightarrow {HK}  = \overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;2;1} \right)\).

Đặt \(u = {e^{0,2x}}\left( { \Rightarrow {e^{0,1x}} = {u^{1/2}}} \right)\) khi đó \(F(x) = 10890\frac{{{u^{1/2}}}}{{{{(1 + 100u)}^{3/2}}}}\)

Để tìm cực đại, xét \(G(u) = \frac{{{u^{1/2}}}}{{{{(1 + 100u)}^{3/2}}}},\quad u > 0\)

Tính \(\ln G = \frac{1}{2}\ln u - \frac{3}{2}\ln (1 + 100u) \Rightarrow \left( {\ln G} \right)\prime  = \frac{1}{{2u}} - \frac{{150}}{{1 + 100u}}\)

Cho đạo hàm bằng 0: \(\frac{1}{{2u}} = \frac{{150}}{{1 + 100u}} \Rightarrow 1 + 100u = 300u \Rightarrow 200u = 1 \Rightarrow u = 0,005\)

Lập bảng biến thiên cho hàm số \(G(u),u > 0\) ta có được hàm số đạt cực đại tại \(u = 0,005\)

Trả về biến \(x\): \({e^{0,2x}} = 0,005 \Rightarrow 0,2x = \ln (0,005) \approx  - 5,298 \Rightarrow x \approx  - 26,49.\)

(thuộc miền \([ - 200,50]\)).

Giá trị cực đại

- Lực pháp tuyến đạt cực đại khi \(x \approx  - 26.5\).

- Giá trị cực đại là khoảng \[419\](lb).