Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu \(EF\) bắc qua sông. Biết rằng thành phố \(A\) cách con sông một khoảng là \(4km\) và thành phố \(B\) cách con sông một khoảng là \(6km\)(hình vẽ), biết \(HE + KF = 20km\) và độ dài \(EF\) không đổi. Hỏi xây cây cầu tại vị trí \(E\)cách thành phố \(A\) là bao nhiêu \(km\) để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường \(AEFB\))? (kết quả làm tròn đến phần trăm).

_____

Đặt \(\widehat {QPR} = \varphi \left( {rad} \right)\), \(\,\,\varphi  \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\).

Ta có \(\Delta PQR\) vuông tại \(Q\) \( \Rightarrow PQ = PR.\cos \varphi  = 4\cos \varphi \).

Mà \(\widehat {QOR} = 2\widehat {QPR} = 2\varphi \).

Độ dài cung tròn \(QR = 2.2\varphi  = 4\varphi \).

Thời gian anh Tài chèo từ \(P\) đến \(Q\) là: \(\frac{{4\cos \varphi }}{3}\) (giờ).

Thời gian anh Tài chèo từ \(Q\) đến \(R\) là: \(\frac{{4\varphi }}{6} = \frac{{2\varphi }}{3}\) (giờ).

Tổng thời gian anh Tài di chuyển từ \(P\) đến \(R\) là: \(t = \frac{{4\cos \varphi }}{3} + \frac{{2\varphi }}{3}\,\,\left( {0 < \varphi  < \frac{\pi }{2}} \right)\).

Xét hàm số \(t\left( \varphi  \right) = \frac{{4\cos \varphi }}{3} + \frac{{2\varphi }}{3}\) với \(\,\,\varphi  \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\).

\(t'\left( \varphi  \right) = \frac{1}{3}\left( { - 4\sin \varphi  + 2} \right)\), \(\,\,\varphi  \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\).

\(t'\left( \varphi  \right) = 0,\,\,\varphi  \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \sin \varphi  = \frac{1}{2},\,\,\varphi  \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \varphi  = \frac{\pi }{6}\).

Bảng biến thiên

Vậy thời gian chậm nhất mà anh Tài di chuyển từ \(P\) đến \(R\)là \(t\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} + \frac{\pi }{9} \approx 1,5\)(giờ) hay 90 phút.

Dựng hệ trục \(Oxyz\) như hình vẽ

Khi đó tọa độ các điểm là \(B\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \(C\left( {8;\,0;\,0} \right)\), \(D\left( {8;\,6;\,0} \right)\), \(A\left( {0;\,6;\,0} \right)\), \(G\left( {8;\,0;\,10} \right)\), \(F\left( {0;\,0;\,10} \right)\).

Ta có: \(M\) là trung điểm của \(AF\)\( \Rightarrow M\left( {0;\,3;\,5} \right)\).

Con cá bơi từ điểm \(G\) đến chạm mặt đáy hồ tại điểm \(I\left( {x;\,y;\,0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\) với \(0 \le x \le 8\), \(0 \le y \le 6\).

Gọi \(N\) là điểm đối xứng của điểm \(M\) qua \(\left( {Oxy} \right)\) \( \Rightarrow N\left( {0;\,3;\, - 5} \right)\).

Quãng đường di chuyển của con cá là \(G - I - M\)

Ta có: \(IM + IG = IN + IG \ge GN\)\( = \sqrt {{{\left( {0 - 8} \right)}^2} + {{\left( {3 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - 10} \right)}^2}}  = \sqrt {298} \).

Để \(IM + IG\) nhỏ nhất thì ba điểm \(I\), \(G\), \(N\) thẳng hàng

Suy ra \(\overrightarrow {IG} \), \(\overrightarrow {NG} \) cùng phương.

\(\overrightarrow {IG}  = \left( {8 - x;\, - y;\,10} \right)\).

\(\overrightarrow {NG}  = \left( {8;\, - 3;\,15} \right)\).

Do đó \(\frac{{8 - x}}{8} = \frac{{ - y}}{{ - 3}} = \frac{{10}}{{15}}\).

Suy ra \(x = \frac{8}{3}\), \(y = 2\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{8}{3};\,2;\,0} \right)\).

Khi đó, \(a = d\left( {I,BA} \right) = \frac{8}{3}\), \(b = d\left( {I,BC} \right) = 2\).

Vậy \(D = 3a + 6b = 3 \cdot \frac{8}{3} + 6 \cdot 2 = 20\).