Trong các hàm số sau, hàm nào đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?

Đồ thị \(\left( C \right)\) của một hàm số bậc ba có dạng: \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\;\left( {a \ne 0} \right)\).

Vì đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua các điểm \(A\left( {0;8} \right),B\left( {2;5,4} \right),K\left( {5;6,75} \right)\) và \(H\left( {8;0} \right)\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}d = 8\\8a + 4b + 2c + d = 5,4\\125a + 25b + 5c + d = 6,75\\512a + 64b + 8c + d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{{10}}\\b = \frac{{21}}{{20}}\\c =  - 3\\d = 8\end{array} \right.\).

Suy ra \(f\left( x \right) =  - \frac{1}{{10}}{x^3} + \frac{{21}}{{20}}{x^2} - 3x + 8\).

Điểm \(M\) thuộc \(\left( C \right)\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến \(d\) là nhỏ nhất khi và chỉ khi tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) song song với \(d\) (\(\left( {{x_M} > 5} \right)\).

Ta có: \(f'\left( x \right) =  - \frac{3}{{10}}{x^2} + \frac{{21}}{{10}}x - 3\).

Đường thẳng \(d\) có hệ số góc \(k =  - \frac{{13}}{9}\).

Suy ra: \( - \frac{3}{{10}}{x^2} + \frac{{21}}{{10}}x - 3 =  - \frac{{13}}{9} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6,16\\x = 0,84 < 5\end{array} \right.\).

Do \({x_M} > 5\) nên \({x_M} = 6,16\) thỏa mãn.

Gọi \(x{\rm{ }}\left( {x > 0} \right)\,\,\)nghìn là số tiền giá vé giảm.

Khi đó giá vé sau khi giảm là \(100 - x\,\) (nghìn đồng).

Sau mỗi lần giảm giá thì có thêm 300x khán giả.

Do đó tổng số khán giả đến xem là 27000 + 300x.

Vì sân vận động có sức chứa 55 000 khán giá nên \(27000 + 300x \le 55000 \Leftrightarrow x \le \frac{{280}}{3}\,\)

Doanh thu từ tiền bán vé là:\(y = \left( {27000 + 300x} \right)\left( {100 - x} \right) =  - 300{x^2} + 3000x + 2700000\,\)

Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y =  - 300{x^2} + 3000x + 2700000{\rm{  }}\,\)

Tập xác định \[{\rm{D}} = \left( {0;\frac{{280}}{3}} \right]\,\]

\(y' =  - 600x + 3000.{\rm{  }}y' = 0 \Leftrightarrow x = 5\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy ban tổ chức nên đặt giá vé là 95 nghìn đồng thì doanh thu tiền bán vé là lớn nhất.