Giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = x + 2y\), với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le y \le 4\\x \ge 0\\x - y - 1 \le 0\\x + 2y - 10 \le 0\end{array} \right.\) là

Gọi \(x\) (tấn) và \(y\) (tấn) lần lượt là số lượng thức ăn loại A và loại B mà nhà máy nên sản xuất. Theo đề bài ta có hệ bất phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \le 120\\2x + 4y \le 160\\x + 3y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \le 120\\x + 2y \le 80\\x + 3y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)

Lợi nhuận thu được từ việc sản xuất \(x\) tấn thức ăn loại A và \(y\) tấn thức ăn loại B là:

\(T = 20x + 30y\)(triệu đồng)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ:

Vậy miền nghiệm của hệ là miền tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;0} \right),{\rm{ }}A\left( {0;\frac{{80}}{3}} \right),{\rm{ }}B\left( {\frac{{200}}{7};\frac{{120}}{7}} \right),{\rm{ }}C\left( {40;0} \right)\)

\(T = 20x + 30y\)đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{7600}}{7} \approx 1086\) tại \(x = \frac{{200}}{7},{\rm{ }}y = \frac{{120}}{7}\).

Vậy lợi nhuận lớn nhất mà nhà máy thu được là 1086 triệu đồng.

Ta có \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha \).

Từ đó suy ra \(\frac{1}{{\frac{4}{9}}} = 1 + {\cot ^2}\alpha  \Leftrightarrow {\cot ^2}\alpha  = \frac{5}{4}\)\( \Leftrightarrow \cot \alpha  =  \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

Vì \(90^\circ  < \alpha  < 180^\circ  \Rightarrow \cot \alpha  < 0\). Từ đó suy ra \(\cot \alpha  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

Mặt kháC. \(\tan \alpha  = \frac{1}{{\cot \alpha }} \Rightarrow \tan \alpha  = \frac{1}{{ - \frac{{\sqrt 5 }}{2}}} =  - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Vậy \(\tan \alpha  =  - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).