Một người dùng ba loại nguyên liệu \(A,B,C\) để sản xuất ra hai loại sản phẩm \(P\) và \(Q\). Để sản xuất \(1\;kg\) mỗi loại sản phẩm \(P\) hoặc \(Q\) phải dùng một số kilôgam nguyên liệu khác nhau. Tổng số kilôgam nguyên liệu mỗi loại mà người đó có và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần thiết để sản xuất ra 1 kg sản phẩm mỗi loại được cho trong bảng sau:

Biết \(1\;kg\) sản phẩm \(P\) có lợi nhuận 3 triệu đồng và \(1\;kg\) sản phẩm \(Q\) có lợi nhuận 5 triệu đồng. Người đó đã lập được phương án sản xuất hai loại sản phẩm trên sao cho có lãi cao nhất. Hỏi lãi cao nhất bằng bao nhiêu?

Gọi x là số kilôgam sản phẩm \(P\), y là số kilôgam sản phẩm \(Q\) cân sản xuất. Ta có hệ bất phương trình: \(2x + 2y \le 10;2y \le 4;2x + 4y \le 12;x \ge 0;y \ge 0\).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục toạ độ Oxy, ta được như hình trên.

Miền nghiệm là miền ngũ giác \(OCBAD\), các đỉnh: \(O(0;0);C(0;2);B(2;2);A(4;1)\); \(D(5;0)\)

Gọi F là số tiên lãi (đơn vị: triệu đồng) thu được, ta có: \(F = 3x + 5y\).

Tính giá trị của \(F\) tại các đỉnh của ngũ giác:

Tại \(O(0;0):F = 3.0 + 5.0 = 0;\quad \) Tại \(C(0;2):F = 3.0 + 5.2 = 10\);

Tại \(B(2;2):F = 3.2 + 5.2 = 16;\quad \) Tại \(A(4,1):F = 3.4 + 5.1 = 17\);

Tại \(D(5;0):F = 3.5 + 5.0 = 15\). \(\quad F\) đạt giá trị lớn nhất bằng 17 tại \(A(4;1)\).

Vậy cân sản xuất \(4\;kg\) sản phẩm \(P\) và 1 kg sản phẩm \(Q\) để có lãi cao nhất là 17 triệu đồng.