Một người dùng ba loại nguyên liệu \(A,B,C\) để sản xuất ra hai loại sản phẩm \(P\) và \(Q\). Để sản xuất \(1\;kg\) mỗi loại sản phẩm \(P\) hoặc \(Q\) phải dùng một số kilôgam nguyên liệu khác nhau. Tổng số kilôgam nguyên liệu mỗi loại mà người đó có và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần thiết để sản xuất ra 1 kg sản phẩm mỗi loại được cho trong bảng sau:

Biết \(1\;kg\) sản phẩm \(P\) có lợi nhuận 3 triệu đồng và \(1\;kg\) sản phẩm \(Q\) có lợi nhuận 5 triệu đồng. Người đó đã lập được phương án sản xuất hai loại sản phẩm trên sao cho có lãi cao nhất. Hỏi lãi cao nhất bằng bao nhiêu?

Gọi \(x,y\left( {x \ge 0,y \ge 0} \right)\) lần lượt là số ha đất trồng rau và hoa.

Diện tích đất trồng canh tác không vượt quá \(8\) ha nên ta có \(x + y \le 8\).

Số ngày công sử dụng không vượt quá \(180\) ngày nên \(2x + 3y \le 180\).

Từ đó, ta có hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 8}\\{2x + 3y \le 180}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0.}\end{array}} \right.\)

Ta cần tìm \(x,y\) sao cho \(T\left( {x,y} \right) = 3x + 4y\) lớn nhất.

Miền nghiệm của hệ được biểu diễn như sau:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền trong của tứ giác \(OABC\), kể cả các cạnh của tứ giác đó, với \(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {8;0} \right)\), \(B\left( {6;2} \right)\), \(C\left( {0;6} \right)\).

Tại \(O\left( {0;0} \right)\), ta có \(T = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 0\).

Tại \(A\left( {8;0} \right)\), ta có \(T = 3 \cdot 8 + 4 \cdot 0 = 24\).

Tại \(B\left( {6;2} \right)\), ta có \(T = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 2 = 26\).

Tại \(C\left( {0;6} \right)\), ta có \(T = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 6 = 24\).

Vậy số lợi nhuận cao nhất mà gia đình chị Minh thu được từ trồng rau và hoa là \(26\) triệu đồng.