PHẦN IV. Câu hỏi tự luận.Thí sinh trình bày lời giải vào giấy làm bài.

Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Đạo và Lập. Xưởng sản xuất loại sản phẩm I và II. Mỗi sản phẩm I bán lãi \(900\)nghìn đồng, mỗi sản phẩm II bán lãi \(700\)nghìn đồng.Để sản xuất được một sản phẩm I thì Đạo phải làm việc trong \(6\)giờ, Lập phải làm việc trong \(4\)giờ.Để sản xuất được một sản phẩm II thì Đạo phải làm việc trong \(7\)giờ, Lập phải làm việc trong \(3\)giờ.Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm.Biết rằng trong một tuần Đạo không thể làm việc quá \(70\)giờ và Lập không thể làm việc quá \(40\)giờ.Tìm số tiền lãi lớn nhất có thể đạt được trong một tuần của xưởng.

Gọi \(x\), \(y\) lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II được sản xuất ra. Điều kiện \(x\), \(y\) nguyên dương.

Khi đó \(x\), \(y\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6x + 7y \le 70}\\{4x + 3y \le 40}\\{x > 0}\\{y > 0}\end{array}} \right.\).

Vẽ các đường thẳng: \({d_1}:6x + 7y = 70\); \({d_2}:4x + 3y = 40\); \(x = 0\); \(y = 0\) trên cùng một hệ trục tọa độ \(Oxy\)

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác \(OABC\) với tọa độ các đỉnh \(O(0;0)\); \(A(0;10)\); \(B(7;4)\); \(C(10;0)\) (hình vẽ).

Tiền lãi của xưởng là \(F(x;y) = 900x + 700y\)ngàn đồng.

Ta thấy \(F(x;y)\) đạt giá trị lớn tại một trong các đỉnh của tứ giác \(OABC\).

Ta có

\(F(0;0) = 900 \cdot 0 + 700 \cdot 0 = 0\).

\(F(0;10) = 900 \cdot 0 + 700 \cdot 10 = 7\)triệu.

\(F(7;4) = 900 \cdot 7 + 700 \cdot 4 = 9,1\)triệu.

\(F(10;0) = 900 \cdot 10 + 700 \cdot 0 = 9\)triệu.

Vậy tiền lãi lớn nhất của xưởng có thể đạt được trong một tuần là \(9,1\)triệu đồng.