Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - {m^2} - 3 = 0\left( * \right)\), với \(m\) là tham số.

a) Giải phương trình \[\left( * \right)\] khi \(m = 0\).

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({\left( {{x_1} + {x_2} - 6} \right)^2}\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = {\left( {{x_1}{x_2} + 7} \right)^2}\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\).

Với \(x \ge 0,x \ne 1\) ta có:

\(B = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) + \sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}:\frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{x - \sqrt x  + \sqrt x  + 1}}{{x - 1}}.\frac{{x - 1}}{{x + 1}}\)

\( = \frac{{x + 1}}{{x + 1}} = 1\).

Vậy với \(x \ge 0,x \ne 1\) thì \(B = 1\).

a) • Vẽ đồ thị hàm số \(y =  - {x^2}\)

Hàm số có hệ số \(a =  - 1 < 0\) nên hàm số đồng biến khi \(x < 0\), nghịch biến khi \(x > 0\)

Do đó đồ thị hàm số \(y =  - {x^2}\) là parabol có bề lõm quay xuống dưới.

Bảng giá trị:

Vậy parabol \(y =  - {x^2}\) đi qua các điểm \(\left( { - 2; - 4} \right),\left( { - 1; - 1} \right);\left( {0;0} \right),\left( {1; - 1} \right),\left( {2; - 4} \right)\).

• Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2x - 3\):

Bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số \(y = 2x - 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0; - 3} \right)\) và \(\left( {\frac{3}{2};0} \right)\).

Ta có đồ thị hàm số \(y =  - {x^2}\) và \(y = 2x - 3\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ như sau:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y =  - {x^2}\) và \(y = 2x - 3\):

\( - {x^2} = 2x - 3\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 3\end{array} \right.\)

Với \(x = 1 \Rightarrow y =  - 1\)

Với \(x =  - 3 \Rightarrow y =  - 9\)

Do đó giao điểm của hai đồ thị đó là \(A\left( {1; - 1} \right),B\left( { - 3; - 9} \right)\).

Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,B\) trên trục \(Ox\).

\({S_{ABKH}} = \frac{{\left( {AH + BK} \right).HK}}{2} = \frac{{\left( {1 + 9} \right).4}}{2} = 20\left( {c{m^2}} \right)\)

\({S_{OAH}} = \frac{1}{2}OH.AH = \frac{1}{2}.1.1 = \frac{1}{2}\left( {c{m^2}} \right)\)

\({S_{OBK}} = \frac{1}{2}OK.BK = \frac{1}{2}.3.9 = \frac{{27}}{2}\left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy \({S_{OAB}} = {S_{ABKH}} - {S_{OAH}} - {S_{OBK}} = 20 - \frac{1}{2} - \frac{{27}}{2} = 6\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).