Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\) (tham khảo hình vẽ).

Khoảng cách giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) bằng

Xét các điểm như hình vẽ.

Ta có \(\frac{{BC}}{{DE}} = \frac{{AB}}{{AD}} \Rightarrow BC = \frac{{AB \cdot DE}}{{AD}} = \frac{{1 \cdot 12}}{3} = 4{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right)\).

Khi mặt hồ phẳng lặng, phần nước đã có trong hồ bơi có dạng hình lăng trụ đứng tam giác.

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Thể tích nước đang có trong hồ bơi là \({V_1} = {S_{ABC}} \cdot AA' = 2 \cdot 6 = 12\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Lại có \({S_{ADEF}} = \frac{{\left( {AD + EF} \right) \cdot DE}}{2} = \frac{{\left( {3 + 1} \right) \cdot 12}}{2} = 24\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Thể tích hồ bơi là \(V = {S_{ADEF}}_{\rm{\;}} \cdot AA' = 24 \cdot 6 = 144\,\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Thể tích nước cần bơm vào là \(0,75V - {V_1} = 0,75 \cdot 144 - 12 = 96\,\,\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Thời gian bơm là \(96:0,25 = 384\) (phút).

Đáp án: 384.

\(\left. \begin{array}{l}BC \bot OM\\BC \bot SO\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SOM} \right)\). Mà \(OK \subset \left( {SOM} \right) \Rightarrow BC \bot OK\).

Lại có \(SM \bot OK \Rightarrow OK \bot \left( {SBC} \right)\). Do đó \(d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OK\). Chọn A.