(0,5 điểm) Xét tính đơn điệu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{{{5^n}}}{{{n^2}}}.\)

Ta có \({u_n} = \frac{{{5^n}}}{{{n^2}}} > 0,\,\,\forall n \in \mathbb{N}* \Rightarrow {u_{n\, + \,1}} = \frac{{{5^{n\, + \,1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\).

Xét tỉ số \(\frac{{{u_{n\, + \,1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{5^{n\, + \,1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} \cdot \frac{{{n^2}}}{{{5^n}}} = \frac{{5{n^2}}}{{{n^2} + 2n + 1}}\)

\( = \frac{{{n^2} + 2n + 1 + 4{n^2} - 2n - 1}}{{{n^2} + 2n + 1}} = 1 + \frac{{2n\left( {n - 1} \right) + 2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 2n + 1}} > 1,\,\,\forall n \in \mathbb{N}*\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.