II. Tự luận (4,0 điểm)

(1,0 điểm) Giải phương trình:

a) \(\cot \frac{{2x}}{3} = \sqrt 3 \);                                              b) \(\sin \left( {\pi - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = 0\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {MAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\AB \subset \left( {MAB} \right);\,\,CD \subset \left( {SCD} \right)\\AB\,\,{\rm{//}}\,CD\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow Mx = \left( {MAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) với \(Mx\,\,{\rm{//}}\,CD\,{\rm{//}}\,AB.\)

Gọi \(N = Mx \cap SD\) trong \(\left( {SCD} \right)\) nên \(N = SD \cap \left( {MAB} \right).\)

Vậy \(CD\) song song \(MN\).

Gọi \({h_n}\) là độ dài đường đi của quả bóng ở lần rơi xuống thứ \(n\,\,\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\).

\({l_n}\) là độ dài đường đi của quả bóng ở lần nảy lên thứ \(n\,\,\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\).

Theo đề bài, ta có \({h_1} = 55,8;\,\,{l_1} = \frac{1}{{10}} \cdot 55,8 = 5,58\) và các dãy số \(\left( {{h_n}} \right),\,\,\left( {{l_n}} \right)\) là các cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = \frac{1}{{10}}.\)

Từ đó suy ra tổng độ dài đường đi của quả bóng là:

\[S = \frac{{{h_1}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} + \frac{{{l_1}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{{10}}{9}\left( {{h_1} + {l_1}} \right) = 68,2\,\,{\rm{(m)}}\].

Vậy tổng độ dài đường đi của quả bóng là \[68,2\,\,{\rm{m}}\].