Cho ba điểm A, B, C. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Hướng dẫn giải

+) Xét tam giác ABC, có AB = AC = a nên tam giác ABC cân tại A

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{1}{2}\left( {180^\circ - \widehat {BAC}} \right) = \frac{1}{2}\left( {180^\circ - 120^\circ } \right) = 30^\circ \).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta được:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.c{\rm{os}}\widehat {BAC}\)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = {a^2} + {a^2} - 2.a.a.c{\rm{os120}}^\circ \)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = 3{a^2}\)

\( \Leftrightarrow BC = \sqrt 3 a\)

\( \Rightarrow BM = \frac{{2BC}}{5} = \frac{{2\sqrt 3 a}}{5}\).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM, ta được:

\(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2.AB.BM.c{\rm{os}}\widehat {ABM}\)

\( \Leftrightarrow A{M^2} = {a^2} + {\left( {\frac{{2\sqrt 3 a}}{5}} \right)^2} - 2.a.\frac{{2\sqrt 3 a}}{5}.c{\rm{os30}}^\circ \)

\( \Leftrightarrow A{M^2} = \frac{7}{{25}}{a^2}\)

\( \Leftrightarrow AM = \frac{{\sqrt 7 }}{5}a\).

Vậy \(AM = \frac{{\sqrt 7 }}{5}a\).

+) Diện tích tam giác \(ABM\) là:

\({S_{ABM}} = \frac{1}{2}.AB.BM.\sin \widehat {ABM} = \frac{1}{2}.a.\frac{{2\sqrt 3 a}}{5}.\sin 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{{10}}\) (đvdt).

Chu vi tam giác \(ABM\) là:

\(p = AB + AM + BM = a + \frac{{\sqrt 7 }}{5}a + \frac{{2\sqrt 3 }}{5}a = \frac{{1 + \sqrt 7 + 2\sqrt 3 }}{5}a\) (đvđd).

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

\(r = \frac{S}{p} = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{{10}}{a^2}} \right):\left( {\frac{{1 + \sqrt 7 + 2\sqrt 3 }}{5}a} \right) \approx 0,12a\).

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) là \(0,12a\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác \(ABC\), có:

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta được:

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R \Leftrightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{b}{{2\sin B}} = \frac{c}{{2\sin C}}\).

Do đó A đúng, B sai.

Diện tích tam giác ABC là:

\(S = pr = \frac{{abc}}{{4R}} \Leftrightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{abc}}{{4pr}}\).

Do đó C và D đúng.