Cho tam giác \(ABC\) có \(R,r\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\), \(S\) là diện tích tam giác \(ABC\) và \(p\) là nửa chu vi tam giác \(ABC\). Công thức tính bán kính ngoại tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) nào sau đây sai?

Hướng dẫn giải

Gọi số sản phẩm A là \(x\) (sản phẩm) và số sản phẩm B là \(y\) (sản phẩm) \(\left( {x,\,\,y \ge 0} \right)\).

Tổng thời gian lắp ráp \(x\) sản phẩm A và \(y\) sản phẩm B là: \(3x + 3y\) (giờ).

Vì thời gian để lắp ráp không quá \(360\) giờ nên ta có: \(3x + 3y \le 360\) hay \(x + y \le 120\).

Tổng thời gian đóng gói \(x\) sản phẩm A và \(y\) sản phẩm B là: \(x + 2y\) (giờ).

Vì thời gian để lắp ráp không quá 200 giờ nên ta có: \(x + 2y \le 200\).

Khi đó ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 120\\x + 2y \le 200\end{array} \right.\).

Biểu diễn miền nghiệm với \({d_1}:x + y = 120\) và \({d_2}:x + 2y = 200\), ta được:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tứ giác OABC với O(0; 0), A(0; 100), B(40; 80), C(120; 0).

Goi F(x; y) là lợi nhuận thu được khi bán x sản phẩm A và y sản phẩm B.

Khi đó \(F\left( {x;y} \right) = 2x + 3y\)

Tại O(0; 0), có \(F\left( {0;0} \right) = 2.0 + 3.0 = 0\).

Tại A(0; 100), có: \(F\left( {0;100} \right) = 2.0 + 3.100 = 300\).

Tại B(40; 80), có: \(F\left( {40;80} \right) = 2.40 + 3.80 = 320\).

Tại C(120; 0), có: \(F\left( {120;0} \right) = 2.120 + 3.0 = 240\).

Vậy để thu được lợi nhuận lớn nhất là 320 triệu đồng thì cần sản xuất 40 sản phẩm A và 80 sản phẩm B.

Hướng dẫn giải

+) Xét tam giác ABC, có AB = AC = a nên tam giác ABC cân tại A

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{1}{2}\left( {180^\circ - \widehat {BAC}} \right) = \frac{1}{2}\left( {180^\circ - 120^\circ } \right) = 30^\circ \).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta được:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.c{\rm{os}}\widehat {BAC}\)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = {a^2} + {a^2} - 2.a.a.c{\rm{os120}}^\circ \)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = 3{a^2}\)

\( \Leftrightarrow BC = \sqrt 3 a\)

\( \Rightarrow BM = \frac{{2BC}}{5} = \frac{{2\sqrt 3 a}}{5}\).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM, ta được:

\(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2.AB.BM.c{\rm{os}}\widehat {ABM}\)

\( \Leftrightarrow A{M^2} = {a^2} + {\left( {\frac{{2\sqrt 3 a}}{5}} \right)^2} - 2.a.\frac{{2\sqrt 3 a}}{5}.c{\rm{os30}}^\circ \)

\( \Leftrightarrow A{M^2} = \frac{7}{{25}}{a^2}\)

\( \Leftrightarrow AM = \frac{{\sqrt 7 }}{5}a\).

Vậy \(AM = \frac{{\sqrt 7 }}{5}a\).

+) Diện tích tam giác \(ABM\) là:

\({S_{ABM}} = \frac{1}{2}.AB.BM.\sin \widehat {ABM} = \frac{1}{2}.a.\frac{{2\sqrt 3 a}}{5}.\sin 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{{10}}\) (đvdt).

Chu vi tam giác \(ABM\) là:

\(p = AB + AM + BM = a + \frac{{\sqrt 7 }}{5}a + \frac{{2\sqrt 3 }}{5}a = \frac{{1 + \sqrt 7 + 2\sqrt 3 }}{5}a\) (đvđd).

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

\(r = \frac{S}{p} = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{{10}}{a^2}} \right):\left( {\frac{{1 + \sqrt 7 + 2\sqrt 3 }}{5}a} \right) \approx 0,12a\).

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) là \(0,12a\).