Cho tam giác \(ABC\) có \(R,r\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\), \(S\) là diện tích tam giác \(ABC\) và \(p\) là nửa chu vi tam giác \(ABC\). Công thức tính bán kính ngoại tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) nào sau đây sai?

Hướng dẫn giải

+) Xét tam giác ABC, có AB = AC = a nên tam giác ABC cân tại A

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{1}{2}\left( {180^\circ - \widehat {BAC}} \right) = \frac{1}{2}\left( {180^\circ - 120^\circ } \right) = 30^\circ \).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta được:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.c{\rm{os}}\widehat {BAC}\)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = {a^2} + {a^2} - 2.a.a.c{\rm{os120}}^\circ \)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = 3{a^2}\)

\( \Leftrightarrow BC = \sqrt 3 a\)

\( \Rightarrow BM = \frac{{2BC}}{5} = \frac{{2\sqrt 3 a}}{5}\).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM, ta được:

\(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2.AB.BM.c{\rm{os}}\widehat {ABM}\)

\( \Leftrightarrow A{M^2} = {a^2} + {\left( {\frac{{2\sqrt 3 a}}{5}} \right)^2} - 2.a.\frac{{2\sqrt 3 a}}{5}.c{\rm{os30}}^\circ \)

\( \Leftrightarrow A{M^2} = \frac{7}{{25}}{a^2}\)

\( \Leftrightarrow AM = \frac{{\sqrt 7 }}{5}a\).

Vậy \(AM = \frac{{\sqrt 7 }}{5}a\).

+) Diện tích tam giác \(ABM\) là:

\({S_{ABM}} = \frac{1}{2}.AB.BM.\sin \widehat {ABM} = \frac{1}{2}.a.\frac{{2\sqrt 3 a}}{5}.\sin 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{{10}}\) (đvdt).

Chu vi tam giác \(ABM\) là:

\(p = AB + AM + BM = a + \frac{{\sqrt 7 }}{5}a + \frac{{2\sqrt 3 }}{5}a = \frac{{1 + \sqrt 7 + 2\sqrt 3 }}{5}a\) (đvđd).

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

\(r = \frac{S}{p} = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{{10}}{a^2}} \right):\left( {\frac{{1 + \sqrt 7 + 2\sqrt 3 }}{5}a} \right) \approx 0,12a\).

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) là \(0,12a\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA} \). Do đó A đúng.

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \ne \overrightarrow {BC} \). Do đó B sai.

Áp dụng quy tắc hiệu hai vectơ:

\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \ne \overrightarrow {BC} \). Do đó C sai.

Áp dụng quy tắc hình bình hành:

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \ne \overrightarrow {BC} \)(với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành). Do đó D sai.