(1,0 điểm) Thời gian (tính bằng giờ) cần thiết để lắp ráp và đóng gói hai loại sản phẩm A và B được thể hiện trong bảng dưới đây.

Quy trình	Sản phẩm A	Sản phẩm B
Lắp ráp	3	3
Đóng gói	1	2

 Tổng số thời gian để lắp ráp và đóng gói sản phẩm lần lượt không quá 360 giờ, 200 giờ. Lợi nhuận khi bán sản phẩm A là 2 triệu đồng, sản phẩm B là 3 triệu đồng. Cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi số sản phẩm A là \(x\) (sản phẩm) và số sản phẩm B là \(y\) (sản phẩm) \(\left( {x,\,\,y \ge 0} \right)\).

Tổng thời gian lắp ráp \(x\) sản phẩm A và \(y\) sản phẩm B là: \(3x + 3y\) (giờ).

Vì thời gian để lắp ráp không quá \(360\) giờ nên ta có: \(3x + 3y \le 360\) hay \(x + y \le 120\).

Tổng thời gian đóng gói \(x\) sản phẩm A và \(y\) sản phẩm B là: \(x + 2y\) (giờ).

Vì thời gian để lắp ráp không quá 200 giờ nên ta có: \(x + 2y \le 200\).

Khi đó ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 120\\x + 2y \le 200\end{array} \right.\).

Biểu diễn miền nghiệm với \({d_1}:x + y = 120\) và \({d_2}:x + 2y = 200\), ta được:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tứ giác OABC với O(0; 0), A(0; 100), B(40; 80), C(120; 0).

Goi F(x; y) là lợi nhuận thu được khi bán x sản phẩm A và y sản phẩm B.

Khi đó \(F\left( {x;y} \right) = 2x + 3y\)

Tại O(0; 0), có \(F\left( {0;0} \right) = 2.0 + 3.0 = 0\).

Tại A(0; 100), có: \(F\left( {0;100} \right) = 2.0 + 3.100 = 300\).

Tại B(40; 80), có: \(F\left( {40;80} \right) = 2.40 + 3.80 = 320\).

Tại C(120; 0), có: \(F\left( {120;0} \right) = 2.120 + 3.0 = 240\).

Vậy để thu được lợi nhuận lớn nhất là 320 triệu đồng thì cần sản xuất 40 sản phẩm A và 80 sản phẩm B.