Cho góc \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \) thỏa mãn \(\tan \alpha = 4\). Giá trị của biểu thức \[A = \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\sin \alpha - 3\cos \alpha }}\] là

Hướng dẫn giải

+) Xét tam giác ABC, có AB = AC = a nên tam giác ABC cân tại A

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{1}{2}\left( {180^\circ - \widehat {BAC}} \right) = \frac{1}{2}\left( {180^\circ - 120^\circ } \right) = 30^\circ \).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta được:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.c{\rm{os}}\widehat {BAC}\)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = {a^2} + {a^2} - 2.a.a.c{\rm{os120}}^\circ \)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = 3{a^2}\)

\( \Leftrightarrow BC = \sqrt 3 a\)

\( \Rightarrow BM = \frac{{2BC}}{5} = \frac{{2\sqrt 3 a}}{5}\).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM, ta được:

\(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2.AB.BM.c{\rm{os}}\widehat {ABM}\)

\( \Leftrightarrow A{M^2} = {a^2} + {\left( {\frac{{2\sqrt 3 a}}{5}} \right)^2} - 2.a.\frac{{2\sqrt 3 a}}{5}.c{\rm{os30}}^\circ \)

\( \Leftrightarrow A{M^2} = \frac{7}{{25}}{a^2}\)

\( \Leftrightarrow AM = \frac{{\sqrt 7 }}{5}a\).

Vậy \(AM = \frac{{\sqrt 7 }}{5}a\).

+) Diện tích tam giác \(ABM\) là:

\({S_{ABM}} = \frac{1}{2}.AB.BM.\sin \widehat {ABM} = \frac{1}{2}.a.\frac{{2\sqrt 3 a}}{5}.\sin 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{{10}}\) (đvdt).

Chu vi tam giác \(ABM\) là:

\(p = AB + AM + BM = a + \frac{{\sqrt 7 }}{5}a + \frac{{2\sqrt 3 }}{5}a = \frac{{1 + \sqrt 7 + 2\sqrt 3 }}{5}a\) (đvđd).

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

\(r = \frac{S}{p} = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{{10}}{a^2}} \right):\left( {\frac{{1 + \sqrt 7 + 2\sqrt 3 }}{5}a} \right) \approx 0,12a\).

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) là \(0,12a\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA} \). Do đó A đúng.

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \ne \overrightarrow {BC} \). Do đó B sai.

Áp dụng quy tắc hiệu hai vectơ:

\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \ne \overrightarrow {BC} \). Do đó C sai.

Áp dụng quy tắc hình bình hành:

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \ne \overrightarrow {BC} \)(với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành). Do đó D sai.