Lớp \(10A\) có \(45\) học sinh, trong đó có \(15\) học sinh được xếp loại học lực giỏi, \(20\) học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt, \(10\) em vừa xếp loại học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi có bao nhiêu học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt?

Hướng dẫn giải

Gọi số bánh trưng được gói là \(x\) (bánh), số bánh ống được gói là \(y\) (bánh) \(\left( {x,y \ge 0} \right)\).

Khi đó số điểm thưởng là \(f\left( {x;\,y} \right) = 5x + 6y\).

Số \(kg\) gạo nếp cần dùng là: \(0,4x + 0,6y\,\left( {kg} \right)\).

Số \(kg\)thịt ba chỉ cần dùng là: \(0,05x + 0,075y\,\,\left( {kg} \right)\).

Số \(kg\) đậu xanh cần dúng là: \(0,1x + 0,15y\,\left( {kg} \right)\).

Vì yêu cầu cuộc thi là sử dụng tối đa \(20kg\) gạo nếp, \(2kg\) thịt ba chỉ và \(5kg\) đậu xanh nên ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}0,4x + 0,6y \le 20\\0,05x + 0,075y \le 2\\0,1x + 0,15y \le 5\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 100\\2x + 3y \le 80\\2x + 3y \le 100\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)

Vậy miền nghiệm là phần miền trong tam giác \(OAB\) với \(O\left( {0;\,0} \right),A\left( {0;\,\,\frac{{80}}{3}} \right),B\left( {40;\,\,0} \right)\) như hình vẽ sau:

Biểu thức \(f\left( {x;\,y} \right) = 5x + 7y\) đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình khi \(\left( {x;\,y} \right)\) là toạ độ một trong các đỉnh \(O\left( {0;\,0} \right),\,\,A\left( {0;\,\frac{{80}}{3}} \right),\,\,B\left( {40;\,0} \right)\).

Ta có:

Tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) có \(f\left( {0;\,0} \right) = 5.0 + 6.0 = 0\);

Tại \(A\left( {0;\,\frac{{80}}{3}} \right)\) có \(f\left( {0;\,\frac{{80}}{3}} \right) = 5.0 + 6.\frac{{80}}{3} = 160\);

Tại \(B\left( {40;\,\,0} \right)\) có \(f\left( {40;\,0} \right) = 5.40 + 7.0 = 200\).

Suy ra \(f\left( {x;\,y} \right)\) lớn nhất bằng \(200\) khi \(x = 40\) và \(y = 0\).

Vậy để được điểm thưởng lớn nhất thì cần gói \(40\) cái bánh trưng và \(0\) cái bánh ống.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác \(ABC\). Áp dụng định lí cosin cho tam giác \(ABC\) ta có:

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC.BC.cosC\)

\( \Leftrightarrow A{B^2} = {200^2} + {180^2} - 2.200.180.cos{60^o}\)

\( \Leftrightarrow A{B^2} = 36400\)

\( \Leftrightarrow AB = 20\sqrt {91} \).

Vậy \(AB = 20\sqrt {91} \,\,\left( m \right)\).