Tìm \(m,n \in \mathbb{N}\) để phép chia sau đây là phép chia hết:

\(\left( {4{x^6}{y^7} - 10{x^5}{y^6} + 8{x^4}{y^5}} \right):\left( { - 4{x^m}{y^n}} \right)\).

Để đa thức \(4{x^6}{y^7} - 10{x^5}{y^6} + 8{x^4}{y^5}\) chia hết cho đơn thức \( - 4{x^m}{y^n}\) thì mọi hạng tử của đa thức \(4{x^6}{y^7} - 10{x^5}{y^6} + 8{x^4}{y^5}\) đều phải chia hết cho đơn thức \( - 4{x^m}{y^n}\), khi đó ta cần có:

Số mũ của \(x\) và số mũ của \(y\) trong \( - 4{x^m}{y^n}\) nhỏ hơn hoặc bằng số mũ của \(x\) và số mũ của \(y\) trong mọi hạng tử của \(4{x^6}{y^7} - 10{x^5}{y^6} + 8{x^4}{y^5}\); tức là phải có \(\left\{ \begin{array}{l}m \le 6\\m \le 5\\m \le 4\\n \le 7\\n \le 6\\n \le 5\end{array} \right.\), khi đó ta tìm được \(m \le 4\) và \(n \le 5\), mà \(m,n \in \mathbb{N}\), do đó \(m \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}\) và \(n \in \left\{ {0;\,1;\,2;\,3;4;\,5} \right\}\).

Vậy \(m \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}\) và \(n \in \left\{ {0;\,1;\,2;\,3;4;\,5} \right\}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.