Gọi S là tổng các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2025\pi } \right]\) của phương trình \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\). Khi đó \(\frac{{4S}}{{2025\pi }}\) bằng bao nhiêu?

a) Ta có \( - 4 \le 4\sin x \le 4\)\( \Leftrightarrow - 6 \le 4\sin x - 2 \le 2\).

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số là 2; giá trị nhỏ nhất của hàm số là −6.

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là −4.

b) \(f\left( { - x} \right) = 4\sin \left( { - x} \right) - 2 = - 4\sin x - 2 \ne f\left( x \right)\).

Do đó hàm số không là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = 4\sin x - 2\) là \(D = \mathbb{R}\).

d) \(f\left( {150^\circ } \right) = 4\sin 150^\circ - 2 = 0\).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Ta có \(0 \le \left| {3\cos \frac{{\left( {2t - 1} \right)\pi }}{3}} \right| \le 3\) hay \(0 \le h \le 3\).

Đẳng thức \(h = 3\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {\cos \frac{{\left( {2t - 1} \right)\pi }}{3}} \right| = 1\) \( \Leftrightarrow \sin \frac{{\left( {2t - 1} \right)\pi }}{3} = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {2t - 1} \right)\pi }}{3} = k\pi \)\( \Leftrightarrow 2t - 1 = 3k\)\( \Leftrightarrow t = \frac{{3k + 1}}{2}\left( {k \in \mathbb{Z},3k + 1 \ge 0} \right)\).

Ta thấy \(0 \le \frac{{3k + 1}}{2} \le 10\)\( \Leftrightarrow 0 \le 3k + 1 \le 20\)\( \Leftrightarrow - 1 \le 3k \le 19\)\( \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \le k \le \frac{{19}}{3}\).

Mà k ℤ nên \(k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\).

Các giá trị tương ứng của t là \(t \in \left\{ {\frac{1}{2};2;\frac{7}{2};5;\frac{{13}}{2};8;\frac{{19}}{2}} \right\}\).

Vậy trong khoảng thời gian 10 giây đầu tiên, có 7 lần người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.

Trả lời: 7.