Tính các giới hạn sau:

(a) \(\lim \frac{{2020{n^2} - n}}{{2021 + {n^2}}};\)

(b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2023} }}{{x + 1}}.\)

a) • Xét \(\Delta SAC\) có: \(M,\,\,O\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,AC\) nên \(MO\) là đường trung bình của \(\Delta SAC\), suy ra\[MO{\rm{//}}SC.\]

Mà \(SC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow MO{\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)

• Xét \[\Delta DCB\] có: \(N,\,\,O\)lần lượt là trung điểm của \[CD,\,\,BD\] nên \(NO\) là đường trung bình của \[\Delta CBD\], suy ra \(NO{\rm{//}}BC.\)

Mà \(BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow NO{\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)

Ta có: \(MO{\rm{//}}\left( {SBC} \right);\,\,NO{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\) và \(MO \cap NO = O\) trong \(\left( {OMN} \right).\)

\( \Rightarrow \left( {OMN} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)

Vậy \(\left( {OMN} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)

b) Ta có: \(\Delta SAD\) và \(\Delta SAB\) là hai tam giác cân tại \(A.\)

\( \Rightarrow AE,\,\,AF\) vừa là phân giác vừa là đường trung tuyến lần lượt của \(\Delta SAD\) và \(\Delta SAB.\)

\( \Rightarrow E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(SD\) và \(SB.\)

Suy ra \(EF\) là đường trung bình của \(\Delta SBD\) nên \(EF{\rm{//}}BD.\)

Mà \(EF \subset \left( {AEF} \right) \Rightarrow BD{\rm{//}}\left( {AEF} \right).\)

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\lim \frac{2}{{{n^2} + 1}} = \lim \frac{{\frac{2}{{{n^2}}}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{{\lim \frac{2}{{{n^2}}}}}{{\lim \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}} = \frac{0}{1} = 0.\)