Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng, biết \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\,\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\). Giá trị \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \) bằng

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  + 2\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AB} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AC} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 6\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {AC}  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AI}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

Do \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.{\rm{  }}\left( * \right)\) 

Giả sử \(H\left( {a;\,\,b} \right)\), khi đó: \(\overrightarrow {AH}  = \left( {a - 1;b - 2} \right),\overrightarrow {BH}  = \left( {a + 1;b + 1} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( {3;0} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {1; - 3} \right)\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right).3 + \left( {b - 2} \right).0 = 0\\\left( {a + 1} \right).1 + \left( {b + 1} \right).\left( { - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 0\\a + 1 - 3b - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\ - 3b - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Vậy, \(H\left( {1; - \frac{1}{3}} \right)\).