Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx + 2y < - 9\\2x - m > 3y\end{array} \right.\) với \(m\) là tham số. Với giá trị nào của \(m\) thì cặp số \(\left( { - 1; - 3} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình?

Hướng dẫn giải

Gọi \(N\) là trung điểm của \[AD\]

Xet tam giác \(ADM\) có: \(\overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {MN} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} } \right)\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AN} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).

b)

Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MI} } \right| = 2MI,\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = AB\)

\( \Rightarrow 2MI = AB\) hay \(MI = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)

Suy ra tam giác \(ABM\) vuông tại \(M\)và nội tiếp đường tròn tâm \(I\) bán kính \(\frac{{AB}}{2}\).

Khi đó \(MH \le MI\)

\( \Rightarrow MH \le \frac{a}{2}\)

Vậy độ dài lớn nhất của \(MH\) là bằng \(\frac{a}{2}\) khi \(H\) trùng với với \(I\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \).

\( \Rightarrow \overrightarrow {GM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AM} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {GM} \)