Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx + 2y < - 9\\2x - m > 3y\end{array} \right.\) với \(m\) là tham số. Với giá trị nào của \(m\) thì cặp số \(\left( { - 1; - 3} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình?

Hướng dẫn giải

Gọi \(N\) là trung điểm của \[AD\]

Xet tam giác \(ADM\) có: \(\overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {MN} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} } \right)\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AN} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).

b)

Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MI} } \right| = 2MI,\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = AB\)

\( \Rightarrow 2MI = AB\) hay \(MI = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)

Suy ra tam giác \(ABM\) vuông tại \(M\)và nội tiếp đường tròn tâm \(I\) bán kính \(\frac{{AB}}{2}\).

Khi đó \(MH \le MI\)

\( \Rightarrow MH \le \frac{a}{2}\)

Vậy độ dài lớn nhất của \(MH\) là bằng \(\frac{a}{2}\) khi \(H\) trùng với với \(I\).

Hướng dẫn giải

Gọi hàm số cần tìm là \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)

Thay \(x = 0\) và \(y = - 7\) vào hàm số ta được: \( - 7 = a{.0^2} + b.0 + c \Leftrightarrow c = - 7\).

Khi đó ta có hàm số \(y = a{x^2} + bx - 7\).

Thay \(x = 10\) và \(y = - 4\) vào hàm số ta được: \( - 4 = a{.10^2} + b.10 - 7 \Leftrightarrow 100a + 10b = 3\) \(\left( 1 \right)\).

Thay \(x = 20\) và \(y = 5\) vào hàm số ta được: \(5 = a{.20^2} + b.20 - 7 \Leftrightarrow 400a + 20b = 12\)

\( \Leftrightarrow 100a + 5b = 3\)\(\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}100a + 10b = 3\\100a + 5b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{{100}}\\b = 0\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow y = \frac{3}{{100}}{x^2} - 7\)       

Vậy hàm số bậc hai có đồ thị chứa nhánh parabol nói trên là \(y = \frac{3}{{100}}{x^2} - 7\).