(1,0 điểm). Biểu đồ đoạn thẳng ở hình vẽ bên thể hiện tốc độ trăng trưởng GDP qua các năm từ 2012 đến 2019.

 

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải

Gọi \(N\) là trung điểm của \[AD\]

Xet tam giác \(ADM\) có: \(\overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {MN} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} } \right)\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AN} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).

b)

Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MI} } \right| = 2MI,\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = AB\)

\( \Rightarrow 2MI = AB\) hay \(MI = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)

Suy ra tam giác \(ABM\) vuông tại \(M\)và nội tiếp đường tròn tâm \(I\) bán kính \(\frac{{AB}}{2}\).

Khi đó \(MH \le MI\)

\( \Rightarrow MH \le \frac{a}{2}\)

Vậy độ dài lớn nhất của \(MH\) là bằng \(\frac{a}{2}\) khi \(H\) trùng với với \(I\).

Hướng dẫn giải

Gọi hàm số cần tìm là \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)

Thay \(x = 0\) và \(y = - 7\) vào hàm số ta được: \( - 7 = a{.0^2} + b.0 + c \Leftrightarrow c = - 7\).

Khi đó ta có hàm số \(y = a{x^2} + bx - 7\).

Thay \(x = 10\) và \(y = - 4\) vào hàm số ta được: \( - 4 = a{.10^2} + b.10 - 7 \Leftrightarrow 100a + 10b = 3\) \(\left( 1 \right)\).

Thay \(x = 20\) và \(y = 5\) vào hàm số ta được: \(5 = a{.20^2} + b.20 - 7 \Leftrightarrow 400a + 20b = 12\)

\( \Leftrightarrow 100a + 5b = 3\)\(\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}100a + 10b = 3\\100a + 5b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{{100}}\\b = 0\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow y = \frac{3}{{100}}{x^2} - 7\)       

Vậy hàm số bậc hai có đồ thị chứa nhánh parabol nói trên là \(y = \frac{3}{{100}}{x^2} - 7\).