a) Cho góc \(x\) thỏa mãn \(0^\circ  \le x \le 180^\circ .\)

Rút gọn biểu thức   \(P = \sin \left( {90^\circ  - x} \right){\rm{cos}}\,x + \sin \left( {180^\circ  - x} \right)\sin \,x.\)

b)  Hai tàu du lịch xuất phát từ hai thành phố cảng \(A\) và \(B\) cách nhau \(200\,(km)\) đến đảo \(C\) như hình minh họa.

Biết \(\widehat {CAB} = 30^\circ ;\,\,\widehat {CBA} = 45^\circ .\) Tàu 1 ở thành phố \(A\) khởi hành lúc 8h và chuyển động đều với vận tốc \(80\,(km/h)\). Tàu 2 ở thành phố \(B\) muốn đến đảo \(C\) cùng lúc với tàu 1 thì phải khởi hành lúc mấy giờ biết tàu 2 chuyển động đều cùng vận tốc \(80\,(km/h)\)(kết quả làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy thập phân).

Lời giải

a)  Ta có \(P = \sin \left( {90^\circ  - x} \right){\rm{cos}}\,x + \sin \left( {180^\circ  - x} \right)\sin \,x\)

                 \( = \cos x.\cos x + \sin x.\sin x\)\( = {\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1\).

b)  Ta có \(\widehat {BAC} = 180^\circ  - 30^\circ  - 45^\circ  = 105^\circ \)(Theo định lý tổng ba góc trong tam giác).

Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC, ta có

\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Leftrightarrow \frac{{200}}{{\sin 105^\circ }} = \frac{{BC}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 45^\circ }}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC \simeq 146,41\\BC \simeq 103,53\end{array} \right.\)

* Thời gian tàu \(1\) đi từ A đến C là: \(1,83\)(h) = \(1\)h \(50\) phút.

* Thời điểm tàu \(1\) đến C là: \(9\)h \(50\) phút.

* Thời gian tàu \(2\) đi từ B đến C là \(1,29\)(h) = \(1\)h \(17\) phút.

* Thời điểm xuất phát của tàu \(2\)là: \(8\)h \(33\) phút.a