Trên hệ trục tọa độ \(Oxy\), có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để phương trình \({x^2} + {y^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4y + 7m + 5 = 0\) là phương trình đường tròn?

Ta có \({\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{{|a|}} \Rightarrow |a| = \frac{{{\Delta _a}}}{{{\delta _a}}}\).

Do \({\delta _a} \le 0,15\% ;d = 0,75\) nên \(|a| \ge \frac{{0,75}}{{0,15}}.100 = 500\).

Vậy độ dài gần đúng của cây cầu là \[500m\].

Ta có: \(AH \bot d \Rightarrow \) phương trình đường thẳng \(AH:x - y = 0\).

Gọi \(H,\,D\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,AH\).

Toạ độ \(D\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 4 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2\). Vậy \(D\left( {2;\,2} \right) \Rightarrow H\left( { - 2; - 2} \right)\).

Do \(BC//d \Rightarrow BC\) có phương trình: \(x + y + 4 = 0\).

\(C \in BC \Rightarrow C\left( {t;\, - t - 4} \right)\) với \(t > 0\). Do \(H\) là trung điểm \(BC\) nên suy ra \(B\left( { - t - 4;\,t} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CE}  = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 8 = 0 \Rightarrow t = 2\) (do \(t > 0\)).

Vậy \(C\left( {2;\, - 6} \right)\) nên \(x_C^2 + y_C^2 = {2^2} + {\left( { - 6} \right)^2} = 40\).