Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = a,AC = 2a,\widehat A = 60^\circ \). \(M\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).

a) \(2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \) nên \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \) là hai vectơ ngược hướng.

Suy ra điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\).

b) \(2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - \frac{3}{2}\overrightarrow {MB} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MB} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).

c) \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).

d) \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} \left( { - \overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} } \right)\)\( = {\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{3}{5}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} \)\( = {\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{3}{5}\left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = 4{a^2} - \frac{3}{5} \cdot 2a \cdot a \cdot \cos 60^\circ \)\( = 4{a^2} - \frac{3}{5}{a^2} = \frac{{17}}{5}{a^2}\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;     c) Sai;     d) Đúng.