Cho elip \[\left( E \right)\] có một tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) và đi qua \(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Gọi \(x\) (nghìn đồng) là số tiền giảm giá. Ta có \(0 < x < 30\).

Số lượng dưa bán ra khi giảm giá: \(40 + 2x\) (trái).

Lợi nhuận trên mỗi trái dưa sau khi giảm giá: \(30 - x\) (nghìn đồng).

Lợi nhuận bán dưa mỗi ngày là: \(\left( {40 + 2x} \right)\left( {30 - x} \right) =  - 2{x^2} + 20x + 1200\) (nghìn đồng).

Xét hàm số \(f\left( x \right) =  - 2{x^2} + 20x + 1200\) trên khoảng \(\left( {0;30} \right)\).

Do hàm số có hệ số \(a =  - 2 < 0\) nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x =  - \frac{b}{{2a}} = 5\).

Vậy cửa hàng cần giảm giá 5000 đồng cho mỗi quả để đạt được lợi nhuận cao nhất.

Vậy giá bán mỗi quả dưa cần tìm là 45000 đồng.

a) Sai: Số lượng dưa bán ra khi giảm giá là \(50\) trái.

b) Sai: Lợi nhuận trên mỗi trái dưa sau khi giảm giá \(25.000\) đồng.

c) Đúng: Lợi nhuận bán dưa mỗi ngày được biểu thị bằng tam thức \(f\left( x \right) =  - 2{x^2} + 20x + 1200\)

d) Đúng: Giá bán mỗi quả dưa \(45.000\) đồng thì cửa hàng thu được lợi nhuận mỗi ngày cao nhất.

Theo giả thiết ta có hệ phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}h\left( 0 \right) = \frac{3}{2}\\h\left( 2 \right) = 5\\h\left( 4 \right) = \frac{9}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{{\left( 0 \right)}^2} + b\left( 0 \right) + c = \frac{3}{2}}\\{a{{\left( 2 \right)}^2} + b\left( 2 \right) + c = 5}\\{a{{\left( 4 \right)}^2} + b\left( 4 \right) + c = \frac{9}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = \frac{3}{2}}\\{4a + 2b + c = 5}\\{16a + 4b + c = \frac{9}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - \frac{1}{2}}\\{b = \frac{{11}}{4}}\\{c = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\).

Suy ra: \(h =  - \frac{1}{2}{t^2} + \frac{{11}}{4}t + \frac{3}{2}\;\). Khi \(t = 5,5\) suy ra \(h = 1,5\)

Vậy sau \(5,5\) giây thì quả bóng đạt độ cao \(1,5\) mét so với mặt đất.