Một đa giác đều có \(32\) đỉnh. Chọn ngẫu nhiên \(3\) đỉnh từ \(32\) đỉnh của đa giác đó. Xác suất để \(3\) đỉnh được chọn là \(3\) đỉnh của một tam giác vuông nhưng không cân là \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(T = b - 3a\)

Ta có: \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 3\end{array} \right.\).

\(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {m;m + 3} \right)\)

Do đó: \(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\) \( \Leftrightarrow \) \(\left( { - 1;0} \right) \subset \left( {m;m + 3} \right)\) \( \Leftrightarrow \) \(m \le  - 1 < 0 \le m + 3\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le  - 1\\0 \le m + 3\end{array} \right.\).\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le  - 1\\ - 3 \le m\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 3 \le m \le  - 1\)

Vậy \( - 3 \le m \le  - 1\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 3;\, - 2;\, - 1} \right\}\) nên có \(3\) giá trị nguyên thỏa mãn.

Đường tròn \(\left( C \right)\) ngoại tiếp tam giác \(ABC\)có phương trình là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\).

Tứ giác\(BCHK\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\) (vì \(\widehat {BHC} = \widehat {BKC} = {90^0}\)).

Dựng tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại \(A.\) Ta có \[\widehat {CAx} = \widehat {CBA} = \] sđ \(\left( 1 \right)\)

Mặt khác: \[\widehat {CBA} = \widehat {AHK}\] (Vì tứ giác \(BCHK\) nội tiếp) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \[\widehat {CAx} = \widehat {AHK}\]. Vậy \[HK//Ax\], nên \[HK \bot AI\].

Đường thẳng \(AI\) đi qua \(I\) và nhận \(\overrightarrow {HK} \) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là:

\(3\left( {x - 1} \right) + 4y = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 3 = 0\).

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 3 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;3} \right)\) (vì \(A\)có tung độ dương).

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và \(K\) nên có phương trình: \(2x + y + 3 = 0\).

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l}3x + y + 3 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1; - 5} \right)\] (vì \(B\) khác \(A\)).

Đường thẳng \(AC\)đi qua \(A\) và \(H\) nên có phương trình: \(x + 3y - 6 = 0\).

Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {6;0} \right)\] (vì \(C\) khác\(A\)).

Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK có đường kính \(BC\) bằng \(\frac{{25}}{2} = 12,5\).