Trên giá sách của An có \(5\) cuốn truyện tranh khác nhau và \(3\) cuốn truyện cổ tích khác nhau. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn một cuốn truyện trên giá sách đó để đọc?

Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 5;1} \right)\) nên đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {n\,}  = \left( {1;5} \right)\).

Phương trình của đường thẳng \(d\) là \(1.\left( {x - 0} \right) + 5.\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 5y - 15 = 0\).

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng \(d\) là \(x + 5y - 15 = 0\)

Đường thẳng \(\Delta \) là trung trực của đoạn thẳng \(BC\) nhận \[\overrightarrow {CB}  = \left( {3;2} \right)\] làm véc tơ pháp tuyến nên véc tơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 3} \right)\). Mà \(\Delta \) đi qua trung điểm \(I\left( { - \frac{3}{2};2} \right)\) của \(BC\) nên \(\Delta \) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{3}{2} + 2t\\y = 2 - 3t\end{array} \right.\) với \(t \in \mathbb{R}\).

Đường thẳng \(AB\) có véc tơ chỉ phương là \[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2\,;\,3} \right)\] nên \(AB\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3;2} \right)\) và đi qua điểm \[A\left( {2\,;\,0} \right)\] nên \(AB\) có phương trình là

\(3\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 6 = 0\)

Đường cao ứng với đỉnh \(C\) của tam giác \(ABC\) đi qua điểm \[C\left( {--3\,;\,1} \right)\] và nhận \(\overrightarrow {BA}  = \left( {2; - 3} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là

\(2\left( {x + 3} \right) - 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y + 9 = 0\).

Từ đó dễ thấy đường thẳng này không đi qua điểm \(M\left( {2;3} \right)\).

a) Đúng: Phương trình của đường thẳng \(d\) đi qua \[B\] và song song với \[AC\] là \(x + 5y - 15 = 0\).

b) Đúng: Phương trình của đường trung trực đoạn thẳng \(BC\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{3}{2} + 2t\\y = 2 - 3t\end{array} \right.\) với \(t \in \mathbb{R}\).

c) Sai: Đường thẳng \(AB\) có phương trình là \(3x + 2y + 6 = 0\).

d) Sai: Đường cao ứng với đỉnh \(C\) của tam giác \(ABC\) đi qua điểm \(M\left( {2;3} \right)\).

a) Đúng: Với \(m \ne 2\) thì \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai.

b) Sai: Khi \(m = 3\) thì \(f\left( x \right)\) luôn nhận giá trị dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Khi \(m = 3\) thì \[f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\] nên \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\x < 1\end{array} \right.\)

c) Sai: Tam thức bậc hai \[f\left( x \right)\] luôn nhận giá trị âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(m \le 2\)

Nếu \(m = 2\) thì \[f\left( x \right) =  - 2x + 3 \Rightarrow f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}\] nên không xảy ra \[f\left( x \right) < 0\] với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

d) Đúng: Với mọi giá trị của \(m\) thì \(f\left( x \right) = 0\) đều có nghiệm.

Nếu \(m = 2\) thì \[f\left( x \right) =  - 2x + 3\] nên \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\).

Nếu \(m \ne 2\) thì \(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 3\left( {m - 2} \right) = {\left( {m - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0,\,\,\forall m \in \mathbb{R}\).

Vậy với mọi giá trị của \(m\) thì \(f\left( x \right) = 0\) đều có nghiệm.