Một hộ nông dân dự định trồng nha đam và măng tây trên diện tích 10 ha. Nếu trồng nha đam thì cần 10 công và thu được 4 triệu đồng trên mỗi ha. Nếu trồng măng tây thì cần 30 công và thu được 6 triệu đồng trên mỗi ha. Hỏi số tiền người nông dân thu được nhiều nhất là bao nhiêu triệu đồng? Biết rằng tổng số công không vượt quá 150 công.

Lời giải

a) Thay \(\left( {1;2} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le 2 \le 5\\1 \ge 0\\1 + 2 - 2 \ge 0\\1 - 2 - 2 \le 0\end{array} \right.\) (đúng).

Vậy \(\left( {1;2} \right) \in S\).

b) Thay \(\left( {2;2} \right)\) vào hệ bất phương ta được \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le 2 \le 5\\2 \ge 0\\2 + 2 - 2 \ge 0\\2 - 2 - 2 \le 0\end{array} \right.\) (đúng).

Vậy \(\left( {2;2} \right) \in S\).

c) Vẽ các đường thẳng \(y = 5;x + y - 2 = 0;x - y - 2 = 0\) trên mặt phẳng tọa độ.

Ta có điểm \(\left( {2;2} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền của tứ giác \(ABCD\) (kể cả các cạnh của tứ giác) (phần tô màu) với \(A\left( {2;0} \right),B\left( {0;2} \right),C\left( {0;5} \right),D\left( {7;5} \right)\).

d) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x - 2y\) đạt được tại một trong 4 điểm \(A\left( {2;0} \right),B\left( {0;2} \right),C\left( {0;5} \right),D\left( {7;5} \right)\).

Ta có \(F\left( {2;0} \right) = 2 - 2 \cdot 0 = 2\);

\(F\left( {0;2} \right) = 0 - 2 \cdot 2 =  - 4\);

\(F\left( {0;5} \right) = 0 - 2 \cdot 5 =  - 10\);

\(F\left( {7;5} \right) = 7 - 2 \cdot 5 =  - 3\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\) là \( - 10\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;    c) Sai;    d) Sai.

Lời giải

Thay điểm \(O\left( {0;0} \right)\) vào hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 < 0\\2x + y + 4 > 0\end{array} \right.\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l} - 6 < 0\\4 > 0\end{array} \right.\) (đúng).

Vậy điểm \(O\left( {0;0} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 < 0\\2x + y + 4 < 0\end{array} \right.\). Chọn B.