Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 2\). Gọi \(E\) là trung điểm cạnh \(AD\). Biết rằng hai đường thẳng \(BE,AC\) vuông góc nhau.

a) Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên ta có \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} \).

b) Ta có \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {EA} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {DE} \) \( = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \left( {\overrightarrow {BE} - \overrightarrow {BD} } \right) = 2\overrightarrow {BD} - 2\overrightarrow {BE} \).

c) Do \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(E\) là trung điểm cạnh \(AD\) nên ta có:

\(\overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).

d) Có \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \).

Theo giả thiết, hai đường thẳng \(BE,AC\) vuông góc nhau nên ta có:

\(\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {BC} ^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow - {\overrightarrow {AB} ^2} + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}{\overrightarrow {BC} ^2} = 0\)\( \Leftrightarrow B{C^2} = 2A{B^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 8\)\( \Rightarrow BC = 2\sqrt 2 \).

Do  là hình chữ nhật nên \(AD = BC = 2\sqrt 2 \).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.