Cho đường thẳng \[{\Delta _m}:\left( {m - 2} \right)x + \left( {m + 1} \right)y - 5m + 1 = 0\] với \[m\] là tham số, và điểm \[A\left( { - 3;9} \right)\]. Giả sử \[m = \frac{a}{b}\] (là phân số tối giản) để khoảng cách từ \[A\] đến đường thẳng \[{\Delta _m}\] là lớn nhất. Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức \[S = 2a - b.\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có \({\Delta _m}:\left( {m - 2} \right)x + \left( {m + 1} \right)y - 5m + 1 = 0 \Leftrightarrow m\left( {x + y - 5} \right) + \left( { - 2x + y + 1} \right) = 0\)

Khi đó, \({\Delta _m}\) luôn đi qua điểm cố định \(M\left( {2;3} \right)\).

Gọi \(d = d\left( {A,{\Delta _m}} \right) = AH,H \in {\Delta _m}\) \( \Rightarrow d \le AM\).

\( \Rightarrow d\) lớn nhất khi \(H \equiv M\) hay \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\Delta \).

Ta có \(\overrightarrow {AM} \left( {5; - 6} \right)\) và \({\Delta _m}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {m + 1;2 - m} \right)\).

Đường thẳng \(AM \bot {\Delta _m}\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow u = 0\)

\( \Leftrightarrow 5\left( {m + 1} \right) - 6\left( {2 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow 11m - 7 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{7}{{11}} \Rightarrow S = 2a - b = 2.7 - 11 = 3\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một cửa hàng hoa quả bán dưa hấu với giá \(50.000\) đồng một quả. Với mức giá này thì chủ cửa hàng nhận thấy họ chỉ bán được \(40\) quả mỗi ngày. Cửa hàng nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu giảm giá mỗi quả \(1000\) đồng thì số dưa hấu bán mỗi ngày tăng thêm \(2\) quả. Biết rằng giá nhập về của mỗi quả dưa là \(20.000\) đồng. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Số lượng dưa bán ra khi giảm giá là \(40\) trái.

b) Lợi nhuận trên mỗi trái dưa sau khi giảm giá \(30.000\) đồng.

c) Lợi nhuận bán dưa mỗi ngày được biểu thị bằng tam thức \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + 20x + 1200\)

d) Giá bán mỗi quả dưa \(45.000\) đồng thì cửa hàng thu được lợi nhuận mỗi ngày cao nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi \(x\) (nghìn đồng) là số tiền giảm giá. Ta có \(0 < x < 30\).

Số lượng dưa bán ra khi giảm giá: \(40 + 2x\) (trái).

Lợi nhuận trên mỗi trái dưa sau khi giảm giá: \(30 - x\) (nghìn đồng).

Lợi nhuận bán dưa mỗi ngày là: \(\left( {40 + 2x} \right)\left( {30 - x} \right) = - 2{x^2} + 20x + 1200\) (nghìn đồng).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + 20x + 1200\) trên khoảng \(\left( {0;30} \right)\).

Do hàm số có hệ số \(a = - 2 < 0\) nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = - \frac{b}{{2a}} = 5\).

Vậy cửa hàng cần giảm giá 5000 đồng cho mỗi quả để đạt được lợi nhuận cao nhất.

Vậy giá bán mỗi quả dưa cần tìm là 45000 đồng.

a) Sai: Số lượng dưa bán ra khi giảm giá là \(50\) trái.

b) Sai: Lợi nhuận trên mỗi trái dưa sau khi giảm giá \(25.000\) đồng.

c) Đúng: Lợi nhuận bán dưa mỗi ngày được biểu thị bằng tam thức \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + 20x + 1200\)

d) Đúng: Giá bán mỗi quả dưa \(45.000\) đồng thì cửa hàng thu được lợi nhuận mỗi ngày cao nhất.

Câu 2

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \[m\] để hàm số \[y = \sqrt {{x^2} - 2mx - 2m + 3} \] có tập xác định là \[\mathbb{R}\].

Xem đáp án

Lời giải

Hàm số \[y = \sqrt {{x^2} - 2mx - 2m + 3} \] có tập xác định là \[\mathbb{R}\] khi \[{x^2} - 2mx - 2m + 3 \ge 0\] với mọi \[x \in \mathbb{R}\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\a > 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m - 3 \le 0\\1 > 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow - 3 \le m \le 1\].

Do \[m\] nguyên âm nên \[m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1} \right\}\].

Vậy có \[3\] giá trị nguyên âm của \[m\] thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 3

Gọi \(B\) là tập hợp các số tự nhiên có \(5\) chữ số khác nhau được lập từ các chữ số \(0\); \(1\); 2; \(3\); \(4\); \(5\); \(6\); \(7\). Chọn ngẫu nhiên một số từ tập \(B\). Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn.

A. \[\frac{{24}}{{49}}\].

B. \[\frac{1}{2}\].

C. \[\frac{{25}}{{49}}\].

D. \[\frac{{18}}{{49}}\].

Lời giải